1.6利用三角函数测高同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.6利用三角函数测高 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为20米，则滑雪道的长为（  ） A．60米 B．米 C．米 D．80米 2．如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（   ） A． B． C． D． 4．某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 5．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 （    ） A．40米 B．米 C．米 D．10米 6．定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 7．如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 8．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（　　） A． B． C． D． 9．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 10．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 11．如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 12．如图，已知斜坡，且，则斜坡的坡比指的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度是，堤坝高，则迎水坡面的长度为 m． 14．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 15．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是 ． 16．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 17．2024年11月30日第一届河南省科技运动会在郑州举行，某参赛小组制作的“水火箭”成功发射，已知当“水火箭”上升到点时，位于地面的点到点的距离为米，仰角为，则此时“水火箭”距地面的高度可表示为 米． 三、解答题 18．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 19．如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 20．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 21．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=37°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响． （1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75） 22．某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高大约是多少？（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 23．如图，两建筑物的水平距离为,从点测得点的俯角为，测得点的俯角为,求这两个建筑物的高度．(结果保留整数) 24．测量主教学楼高度的方案． 任务驱动 测量主教学楼的高度 测量工具 测角仪，皮尺 模型抽象 测量步骤 ①测量出教学楼前斜坡的长为8米，坡度； ②在距离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． 数据说明 ①、在同一水平线上 ②点、、、在同一平面内 参考数据 ，，， 模型求解 （1）求台阶底部到教学楼的水平距离； （2）计算教学楼的高度． 结果要求 精确到0.1米 《1.6利用三角函数测高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A C C A D A 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为， ， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 滑梯斜面的坡度， ， ， ， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点D作于F， 由题意知：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据坡度得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵背水坡的坡度，坝高， ∴，则， ∴， 即坡面 的长度为， 故选：C． 5．A 【详解】试题分析：在直角△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB=×80=40米．故选A． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 6．C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角问题），解题的关键是通过作辅助线，利用解直角三角形求解． 过点O作交的延长线于点D，延长交于点E，，根据题意，在中，，在中，求得，利用求解，最终求解出的长度． 【详解】如解图，过点O作交的延长线于点D，延长交于点E， 根据题意，得，在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵绳子收回的长度为， ∴，解得， ∴， 故定滑轮O距地面的高度为． 故选：C． 7．C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 8．A 【详解】试题分析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里，∴PA＝50， ∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处， ∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40， ∴tan∠BAP=，故选A． 9．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 11．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论． 【详解】∵，是地平线， ∴从点观测点的俯角是， 故选：B． 12．D 【分析】本题主要考查了坡比的定义，根据坡比是指在水平距离上，上升或下降的高度与水平距离的比值求解即可． 【详解】解：∵已知斜坡，且， ∴斜坡的坡比指， 故选：D 13．60 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据斜面坡度是，得到，进而求出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴； 故答案为：60． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 15．16 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 16．242 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 17． 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴千米 故答案为：． 18．(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点G，在中，求出，在中，求出，进而求出； （2）过点F作于点H，过点E作于点M，证明出，在中，求出，在中，求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 在中， 米， （米）， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：的距离为米； （2）如图，过点F作于点H，过点E作于点M， 由题意，知， ∴四边形是矩形， ， 在中， 32米，， （米）， ， ， 又， ， 在中， 米， （米）， （米）， 米， 答：货车顶端E到水平线的距离约为米． 19．(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 20．(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 21．(1) 36米；(2) 81米． 【详解】试题分析：（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度； （2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可． 试题解析：（1）如图，连接PA． 由题意知，AP=39m． 在直角△APH中，PH===36（米）， 答：此时汽车与点H的距离为36米； （2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度． 在Rt△ADH中，DH==20（米）． 在Rt△CDQ中，DQ==65（米）． 则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+65﹣20=81（米）． 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要81米． 考点：解直角三角形的应用． 22．旗杆的高度大约是 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键．设为，分别在和表示出、，再利用列出方程，代入三角函数值的数据解出的值即可解答． 【详解】解：设为， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ． 又， ， 解得：， 答：旗杆的高度大约是． 23．两建筑物的高度分别约为36米、15米 【分析】先延长CD交过点A的水平线于点E，则AE=BC，根据∠β=45°求出∠BAC的度数，由BC=36m即可求出AB的高度，由∠α=30°利用锐角三角函数的定义即可求出DE，进而可求出CD的高． 【详解】延长CD交过点A的水平线于点E，则AE=BC=36， 在Rt△ACE中，tanβ=， ∴CE=AE×tan45°=AE×1=AE=36(米) ∴AB=CE=36(米)， 在Rt△ADE中，tanα=， ∴DE=AE×tan30°=36×=， 则CD=CE-DE=36-≈15． 即两建筑物的高度分别约为36米、15米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的含义是解题关键． 24．（1）6.9米（2）23.7米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解已经和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，然后灵活运用三角函数的定义计算相应的边长．也考查了坡度． （1）延长交于点，如图，先根据坡度的定义和正切的定义得到，则，则可计算出米，米； （2）在中利用正切的定义得到，然后解方程求出即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， 的坡度， ， ， （米）， 米； （2）在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为23.7米． 学科网（北京）股份有限公司 $