1.6利用三角函数测高 教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦北师大版九年级下册“利用三角函数测高”，核心是运用锐角三角函数解决底部可到达与不可到达物体的测高问题，涉及仰角俯角概念及测倾器使用。通过“测量旗杆高度”问题导入，衔接已学的三角函数定义与解直角三角形方法，搭建“实际问题-数学模型”的学习支架。 特色在于情境驱动的实践探究，通过自制测倾器、分组设计测量方案（如底部可到达的旗杆与不可到达的山顶高度测量），引导学生从立体场景抽象直角三角形模型，经历“问题-建模-求解-检验”过程。体现数学眼光（几何直观与抽象）、数学思维（推理运算）、数学语言（模型应用），助力学生积累活动经验，教师可直接应用情境与活动设计提升课堂实效。

1.6利用三角函数测高 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第1章“直角三角形的边角关系”的第6节。内容包括如何利用直角三角形的边角关系（正弦、余弦、正切）解决实际中的"测量底部可以到达的物体高度"问题，如何利用**"测倾器"**测量仰角或俯角。测量底部不可以直接到达的物体高度。 （二）教学内容解析 本节是解直角三角形知识的直接应用，是连接数学理论与现实世界的桥梁。它体现了数学建模的思想，将实际问题转化为数学问题（直角三角形）来解决。核心是让学生理解仰角、俯角的概念，并能正确构造直角三角形，选择合适的三角函数进行计算。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】会利用直角三角形的边角关系测物体的高度。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 了解仰角、俯角的概念。 2.能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，特别是测量物体高度的问题。 3.能设计并完成一次测量实践活动。 4. 通过测量活动，经历"实际问题→建立模型→求解→检验"的过程，积累数学活动经验。体会数形结合、转化的数学思想。 5.感受数学在解决实际问题中的作用，激发学习数学的兴趣。 （二）教学目标解析 达成目标1的标志是学生能在具体情境中识别仰角和俯角，并能写出正确的解题过程。 达成目标2的标志是学生能独立或合作，根据测量工具和现场条件，设计出可行的测量方案。 达成目标3的标志是学生在小组活动中能积极参与，主动交流，并对测量结果进行反思和改进。 三、学生学情分析 已有基础：学生已经学习了锐角三角函数的定义和解直角三角形的基本方法。具备一定的几何图形识别和代数运算能力。 潜在困难：如何将立体的实际场景抽象为平面的直角三角形模型，是学生最主要的障碍。对仰角、俯角概念的理解和在图中的正确标注可能会出现混淆。实际测量时，如何正确使用工具（如测倾器、卷尺）以及处理测量误差。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】理解直角三角形的边角关系的意义和与现实生活的联系. 四、教学策略分析 1. 情境教学法：从学生熟悉的场景（如测量教学楼、旗杆高度）入手，激发学习兴趣。 2.直观演示法：通过动画、实物演示，帮助学生理解仰角、俯角和测倾器的原理。 3.合作探究法：以小组为单位进行讨论和实践操作，共同解决问题。 4. 问题驱动法：设计一系列有梯度的问题，引导学生思考，逐步深入。 5.多媒体辅助：利用PPT、几何画板等工具，动态展示问题和解题过程。 五、教学过程分析 （一）复习引入 问题导入："学校的旗杆有多高？我们不用爬上去，能不能用我们学过的数学知识测出来？" 引出课题：揭示本节课主题——利用三角函数测高。 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 活动一：测量倾斜角 1、问： 数学课上，我们用刻度尺测量长度，用量角器测量角度. 生活中，我们是如何测量长度和角度的呢？ 测量长度可以用皮尺或卷尺，测量倾斜角可以用测倾器。 2、查： 检查各小组自制测倾器的情况，看看哪组制作的最合理适用 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.（如图） 皮尺 测倾器 3、用： 测倾器测量倾斜角步骤如下，请反复对身边合适物体进行模拟测量 （1）、把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置； （2）、转动度盘，使度盘直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数。 4、想： 测倾器测角的理论依据是什么？测量底部可以到达的物体的高度，需要测量哪几个数据？测量底部不可以到达的物体的高度，需要测量哪几个数据？ 活动二：测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 分组活动：1.你们能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？ 2.需要用到哪些工具？ 3.需要测量哪些数据？ 4.根据测量数据，如何计算物体的高度？ 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器，测得物体顶部M的仰角∠MCE＝． 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝． 3.量出测倾器的高度AC＝（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）． 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。 在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度. MN=ME+EN=l·tanα+a 例1：如图，李亮用测倾器在点D 处测量旗杆BC 的高度，测倾器的高度AD=1.21 m，地面上DC=20.04 m，仰角α=28°，请你帮李亮计算一下旗杆BC 有多高(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 28°≈0.469 5，cos 28°≈ 0.882 9，tan 28°≈ 0.531 7). 解: 如图1-6-5，过点A 作AE ⊥ BC 于点E，由题意， 得AE=DC=20.04 m，EC=AD=1.21 m， ∠ BAE=α =28°. 在Rt△ABE 中，BE=AE·tan α =20.04×tan 28°≈20.04×0.531 7≈10.66(m). ∴ BC=BE+EC ≈ 10.66+1.21 ≈ 11.9(m). ∴旗杆BC 的高约为11.9 m. 活动三：测量底部不可以到达的物体的高度 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 小组活动：1.你们能设计一个方案测量底部不可以到达的物体的高度吗？ 2.需要用到哪些工具？ 3.需要测量哪些数据？ 4.根据测量数据，如何计算物体的高度？ 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行： 1、在测点A处安置测倾器，测得此时物体顶部M的仰角∠MCE＝； 2、在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时物体顶部M仰角∠MDE＝； 3、量出测倾器的高度AC＝BD＝，以及测点A，B之间距离AB＝。 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。 例2：如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度. 他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角∠CBE＝45°，AB＝10 m. 求山顶C点处的海拔高度. (小明身高忽略 不计，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90) 【解】如图，过点C作CD⊥AE，交AE的 延长线于点D，设BD＝x m，∵AB＝10 m， ∴AD＝AB＋BD＝(x＋10)m. 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD·tan 45°＝x m.在Rt△ACD中，∠CAE＝42°， ∴CD＝AD·tan 42°≈0.9(x＋10)m.∴x≈0.9(x＋10)，解得x≈90. ∴CD≈90 m.∵小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，∴山顶C点处的海拔高度约为1 600＋90＝1 690(m)． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同 一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的 仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°， 两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为_______米(结果保留根号）． 2．某校数学兴趣小组要测量贵阳某电视塔的高度． 如图1－6－3，他们在点A处测得电视塔最高点C的仰角为45°， 再往电视塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°， AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据， 则电视塔的高度CD约为________m. (sin56°≈0.8，tan56°≈1.5，结果保留整数) 3．如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_____海里（不作近似计算）. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $