课时分层评价51 直线与平面垂直-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价51　直线与平面垂直 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.若空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 答案：B 解析：因为三角形的两边AC，BC有交点C，且直线l和AC，BC同时垂直，所以该直线垂直平面ABC，故该直线与AB垂直.故选B. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A.平面DD1C1C B.平面A1DB1 C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB 答案：B 解析：连接A1D，DB1(图略). 因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，所以AD1⊥平面A1DB1.故选B. 3.已知三棱锥V-ABC中，VA⊥BC，VB⊥AC，作VO⊥平面ABC，垂足为O，则O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案：D 解析：连接OA，OB，如图所示.由VO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得VO⊥BC. 又VA⊥BC，VA∩VO＝V，VA，VO⊂平面VOA，则BC⊥平面VOA. 又OA⊂平面VOA，因此OA⊥BC，同理OB⊥AC，所以O为△ABC的垂心.故选D. 4.如图，α，β是两个不同的平面，A，C是平面α上两个不同的点，B是平面β上的点，α∩β＝l，且AB⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 答案：C 解析：因为AB⊥α，l⊂α，所以AB⊥l.又因为BC⊥β，l⊂β，所以BC⊥l.又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.故选C. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1DCB1的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：A 解析：如图所示，连接BC1交B1C于点E，连接A1E，则B1C⊥BC1.又DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又DC∩B1C＝C，DC，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，则∠BA1E为直线A1B和平面A1DCB1的夹角.又A1E⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥A1E，所以sin ∠BA1E＝＝，则∠BA1E＝30°，即直线A1B和平面A1DCB1的夹角为30°.故选A. 6.(多选题)如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是(　　) A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.BC⊥PC 答案：ABD 解析：由题意知，PA⊥平面ABC. 因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，故A正确；而AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，故B正确；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC. 又PC⊂平面PBC，所以AC⊥PC. 又PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC，则△PAC中有2个直角，矛盾，故C错误；由BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，可得BC⊥PC，故D正确.故选ABD. 7.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面ABC所成的角的大小为　　　　. 答案：30° 解析：取BC的中点E，连接DE，AE(图略)，则DE⊥平面ABC，故DE⊥AE，∠DAE即为AD与平面ABC所成的角. 设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则DE＝，AE＝，所以tan ∠DAE＝，所以∠DAE＝30°. 8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有　　　　条.(填数字) 答案：1 解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1. 又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件. 9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1. 答案：A1C1⊥B1C1 解析：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下：因为AA1⊥平面ABC，CC1∥AA1，所以CC1⊥平面ABC.因为BC，AC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC，CC1⊥AC. 因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，所以A1C1⊥C1C. 又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1. 因为AC∥A1C1，所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为AC，B1C⊂平面ACB1，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面ACB1. 因为AB1⊂平面ACB1，所以BC1⊥AB1.所以当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1. 10.(13分)如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求AE与平面BDE的夹角的大小. 解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD. 因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥DE， 因为BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDE. (2)如图所示，设AC∩BD＝O，连接EO， 因为AC⊥平面BDE，所以EO是直线AE在平面BDE上的射影， 所以∠AEO即为AE与平面BDE的夹角. 在Rt△EAD中，DE＝DA＝2，所以EA＝＝2，AO＝， 所以在Rt△EOA中，sin ∠AEO＝＝， 所以∠AEO＝30°， 即AE与平面BDE的夹角为30°. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.(新情境)《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是(　　) A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直 C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直 答案：B 解析：显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化，秋千板与墙面垂直，故也与道路始终垂直.故选B. 12.(多选题)如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，下列结论正确的是(　　) A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD 答案：ABD 解析：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，故A正确；因为PA⊥CD，CD⊥DA，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以PD⊥CD，故B正确；因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，故D正确；因为BD⊥AO，BD⊥PA，AO，PA⊂平面PAO，AO∩PA＝A，所以BD⊥平面PAO，PO⊂平面PAO，所以BD⊥PO，所以△PDB为等腰三角形，且PD＝PB，所以BD与PD不垂直，故C不正确.故选ABD. 13.如图，矩形ABCD的长AB＝3，宽AD＝x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是　　　. 答案： 解析：如图所示，连接AQ. 因为PA⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，所以PA⊥BQ.又PQ⊥BQ，且PQ∩PA＝P，PQ，PA⊂平面PAQ，由线面垂直的判定定理可得BQ⊥平面PAQ.且AQ⊂平面PAQ，所以BQ⊥AQ.设DQ＝y，则CQ＝3－y. 在直角三角形ADQ中，由勾股定理可得AQ2＝x2＋y2，在直角三角形BCQ中，BQ2＝x2＋. 在直角三角形ABQ中，AB2＝AQ2＋BQ2，即9＝x2＋y2＋x2＋，化简可得x2＝－y2＋3y，其中0≤y≤3，即x2＝－＋≤，解得－≤x≤.又x＞0，所以0＜x≤，即x的范围是. 14.(15分)(新定义)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，四面体PABC中，PA⊥平面ABC，AC＝BC，D是棱AB的中点. (1)判断四面体PACD是否为鳖臑，并说明理由； (2)若四面体PABC是鳖臑，且AP＝AB＝2，求直线AC与平面PAB的夹角的大小. 解：(1)四面体PACD是鳖臑.证明：因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PA⊥CD. 因为AC＝BC，D是棱AB的中点，所以CD⊥AB. 又PA∩AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB， 所以CD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PAB，所以CD⊥PD. 因此PA⊥AC，PA⊥AD，CD⊥AD，CD⊥PD， 故∠PAC，∠PAD，∠ADC，∠PDC为直角， 所以四面体PACD是鳖臑. (2)因为四面体PABC是鳖臑，AC＝BC， 所以AC⊥BC， 又AP＝AB＝2，所以AC＝BC＝， 由(1)知CD⊥平面PAB，所以∠CAD为直线AC与平面PAB的夹角， 由于CD⊥AD，D是AB的中点，所以AD＝CD＝AB＝1，所以∠CAD＝. 15.(5分)(新定义)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－×3＝π.如图所示，在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD＝PA，PC与底面ABCD的夹角为，在四棱锥P-ABCD中，顶点B的曲率为　　　　. 答案： 解析：设PA＝1，则AD＝PA＝.因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA即为PC与底面ABCD的夹角，即∠PCA＝，所以PC＝＝2，AC＝＝，所以AB＝＝＝1，所以tan ∠PBA＝＝1，所以∠PBA＝. 因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC. 又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥BC，即∠PBC＝. 又∠ABC＝，所以顶点B的曲率为2π－－－＝. 16.(17分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD？ 解：(1)证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图所示. 又因为N是PC的中点， 所以NE∥DC且NE＝DC. 又因为DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB， 所以AM∥CD且AM＝CD. 所以NE∥AM且NE＝AM. 所以四边形AMNE是平行四边形， 所以MN∥AE. 因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2)当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下： 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， 所以∠PDA＝45°，所以AP＝AD，所以AE⊥PD. 又因为MN∥AE，所以MN⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. 又因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，所以CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD. 学科网（北京）股份有限公司 $