课时分层评价19 向量的减法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价19　向量的减法 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：＋－＝－＝＋＝.故选B. 2.化简－＋－所得的向量是(　　) A. B. C.0 D. 答案：B 解析：－＋－＝＋－＝－＝.故选B. 3.(多选题)下列向量的运算结果正确的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.－＋＝0 D.－－＝0 答案：AC 解析：对于A，＋＝，故A正确；对于B，－＝＋＝，故B错误；对于C，－＋＝＋－＝－＝0，故C正确；对于D，－－＝－(＋)＝－＝＋≠0，故D错误.故选AC. 4.在边长为1的正三角形ABC中，｜－｜的值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案：C 解析：如图所示，作菱形ABCD，则｜－｜＝｜－｜＝｜｜＝2｜｜·sin 60°＝.故选C. 5.在△ABC中，｜＋｜＝｜－｜＝｜＋｜，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案：A 解析：因为＋＝，－＝，＋＝，｜＋｜＝｜－｜＝｜＋｜，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△ABC是等边三角形.故选A. 6.设a，b为夹角是锐角的单位向量，则a＋b与a－b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图所示，设＝a，＝b，四边形OACB为平行四边形，则＝a＋b，＝a－b.因为a，b为夹角是锐角的单位向量，所以▱OACB为菱形，故OC⊥BA，所以⊥，即a＋b与a－b的夹角为.故选D. 7.在正六边形ABCDEF中，＝m，＝n，则＝　　　　.(结果用m，n表示) 答案：m－n 解析：如图所示，根据正六边形的性质可知，ED∥AB，且ED＝AB，所以＝＝－＝m－n. 8.已知＝a，＝b，＝5，＝12，∠AOB＝90°，则＝　　　　. 答案：13 解析：依题意，△AOB是直角三角形，＝＝＝13. 9.已知非零向量a，b满足＝＝，则a与b的夹角为　　　　. 答案： 解析：如图所示，设a＝，b＝，a－b＝，因为＝＝，即＝＝，可知△OAB为等边三角形，所以a与b的夹角为∠AOB＝. 10.(13分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为AC与BD的交点. (1)若＝，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？说明理由. (2)化简－－，并在图中作出表示该化简结果的向量. 解：(1)由条件知＝｜＋＋｜＝，即AB＝AD， 又四边形ABCD是平行四边形， 故四边形ABCD是菱形. (2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知＝. 所以－－＝－－＝－＝－＝. 作出向量如图所示. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.(新情境)如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表.若用向量d代表整条手臂，则下列结论正确的是(　　) A.｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝｜d｜ B.｜a｜＋｜b｜＝｜c｜＋｜d｜ C.a＋c＝d－b D.a＋b＝c－d 答案：C 解析：依题意，得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c，由于各向量间的夹角未知，故＋＋＝，＋＝＋均不一定成立，故C正确，A、B、D错误.故选C. 12.(多选题)已知a，b为非零向量，则下列说法正确的是(　　) A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同 B.若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a与b相互垂直 C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的模相等 D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同 答案：ABD 解析：若a，b为非零向量，则当且仅当a，b方向相同时有｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，因此A，D正确；若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线相等，故平行四边形为矩形，则a与b相互垂直，因此B正确；若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反，不能说明a与b的模相等，因此C错误.故选ABD. 13.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是△ABC所在平面内任意一点，则－＋＝　　　　. 答案：0 解析：－＋＝＋－＝－.因为D是边BC的中点，所以＝.所以－＋＝0. 14.(15分)已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－b｜. 解：设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示. 则＝a＋b，＝a－b，所以｜｜＝｜｜. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，｜｜＝8，｜｜＝6， 由勾股定理得，｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝64＋36＝100，即｜｜＝10，所以｜a－b｜＝10. 15.(5分)已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若E为AC的中点，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为＋＝＋，所以－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形.因为E为AC的中点，所以E为对角线AC与BD的交点，如图所示，则S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，则＝.故选C. 16.(17分)(开放题)如图，在▱ABCD中，＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？ (3)当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜＝｜a－b｜？ (4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝，a－b＝. a＋b，a－b所在的直线互相垂直，即AC⊥BD. 又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为菱形，即a，b应满足｜a｜＝｜b｜. (3)｜a＋b｜＝｜a－b｜，即｜｜＝｜｜， 所以四边形ABCD为矩形， 所以当a，b满足a⊥b时，｜a＋b｜＝｜a－b｜. (4)不可能，▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量， 所以a＋b与a－b不可能为相等向量. 学科网（北京）股份有限公司 $