6.5.2 平面与平面垂直-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平面与平面垂直核心知识点，以二面角概念（半平面、定义、平面角）为起点，衔接面面垂直定义，通过性质定理实现面面垂直到线面垂直的转化，结合判定定理完成线面垂直到面面垂直的证明，最终落脚于垂直关系综合应用，构建完整知识支架。 该资料以生活实例（如“开门角度”“铅锤验墙”）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链驱动定理推导（如链教材例题证明）培养逻辑推理，配套对点练与易错警示助力学生用数学思维巩固知识，课中辅助教师授课，课后帮助学生查漏补缺。

5.2　平面与平面垂直 学习目标 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小.　2.掌握两个平面互相垂直的概念.　3.掌握平面与平面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题，提升直观想象与数学抽象的核心素养.　4.掌握平面与平面垂直的判定定理，能用定义和定理判定面面垂直，提升逻辑推理的核心素养. 任务一　二面角的概念 问题1.如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画这个角的大小呢？ 提示： 是指“门面与墙面的夹角”即二面角，应用二面角的平面角刻画这个角的大小. 1.二面角的概念及表示 半平面 的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面 二面角 的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 相关 概念 (1)这条直线称为二面角的棱； (2)这两个半平面称为二面角的面 画法 记法 二面角α-AB-β或α-l-β 2.二面角的平面角 定义 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角 图形 符号 ⇒∠AOB是二面角α-l-β的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° 3.平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. [微思考]　二面角的平面角∠AOB的大小与点O在直线l上的位置有关吗？为什么？ 提示：二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上点的位置无关. (链教材P243例5)如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中. 求 (1)二面角D'-AB-D的大小； (2)二面角A'-AB-D的大小. 解：(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB⊥平面ADD'A'，所以AB⊥AD'，AB⊥AD，因此∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角. 在Rt△D'DA中，∠ADD'＝90°，AD＝DD'，所以∠D'AD＝45°， 所以二面角D'-AB-D的大小为45°. (2)因为AB⊥平面ADD'A'，所以AB⊥AD，AB⊥AA'，因此∠A'AD为二面角A'-AB-D的平面角. 又∠A'AD＝90°，所以二面角A'-AB-D的大小为90°. 学生用书⬇第178页 求二面角的平面角大小的步骤 对点练1.(1)(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A.两个相交平面组成的图形叫作二面角 B.异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b的夹角与这个二面角的平面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线的夹角的最小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 (2)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上一点(不同于A，B两点)，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 答案：(1)BD　(2)C 解析：(1)由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，实质上两个相交平面共有四个二面角，故A错误；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确.故选BD. (2)由条件得PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.故选C. 任务二　平面与平面垂直的性质 问题2.在教室里，黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 提示：在黑板所在的平面内画一条垂直黑板所在的平面与地面所在的平面的交线的垂线即可. 问题3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？ 提示：直线A1A与平面ABCD垂直，在平面A1ADD1内与交线AD垂直的直线都与平面ABCD垂直. 平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号 语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形 语言 作用 (1)面面垂直⇒线面垂直；(2)作面的垂线 [微思考]　若平面 α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？ 提示：a⊂α. 学生用书⬇第179页 (链教材P244例6)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明：如图所示，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D. 因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB. 　　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： 1.两个平面垂直. 2.直线必须在其中一个平面内. 3.直线必须垂直于它们的交线. 对点练2.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD＝120°，且AB＝BC. 求证：PA⊥平面ABCD. 证明：在四棱锥P-ABCD中，由BC∥AD，∠BAD＝120°，得∠ABC＝60°. 连接AC，而AB＝BC，则△ABC为等边三角形. 取AB中点E，连接CE，则CE⊥AB. 由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，CE⊂平面ABCD，得CE⊥平面PAB. 而PA⊂平面PAB，则CE⊥PA. 又PA⊥AD，CE与AD相交，CE，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD. 任务三　平面与平面垂直的判定 问题4.如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检验所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理？ 提示：如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直. 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊂α，l⊥β ⇒α⊥β [微思考]　过平面α的一条垂线，可以作多少个平面与平面α垂直？ 提示：无数多个. (链教材P246例8)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. 证明：平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC. 又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 又A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BCC1B1，所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 证明平面与平面垂直的方法 1.定义法：证明二面角的平面角为直角. 2.判定定理法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 对点练3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，E为线段PD的中点，F为线段PC(不含端点)上的动点.证明：平面AEF⊥平面PCD. 证明：因为底面ABCD为正方形，则CD⊥AD. 又因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 可得CD⊥平面PAD. 由AE⊂平面PAD，可得CD⊥AE. 因为PA＝AD，且E为PD的中点，则AE⊥PD. 由CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，可得AE⊥平面PCD. 且AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PCD. 学生用书⬇第180页 任务四　垂直关系的综合应用 (链教材P246例9)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，CD⊥BC，且AB＝AD＝2CD，PA＝2BC＝2. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB； (2)求二面角A-BC-P的大小. 解：(1)证明：由于底面ABCD是直角梯形且CD⊥BC，所以由AB∥CD得BC⊥AB. 因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 而PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. 又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB. (2)由(1)知BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB， 所以BC⊥PB. 又因为BC⊥AB，所以∠PBA是二面角A-BC-P的平面角. 由AB＝AD＝2CD得cos ∠BAD＝＝＝， 而∠BAD∈，即∠BAD＝. 所以在梯形ABCD中，由BC＝可得AB＝AD＝＝2. 所以在直角△PAB中，tan ∠PBA＝＝＝， 而∠PBA∈，所以∠PBA＝， 所以二面角A-BC-P的大小为. 1.在解决垂直问题的过程中，要注意平面与平面垂直的判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意面面垂直和线面垂直的互相转化. 2.在应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理证明有关问题时，除了运用转化思想，还应注意寻找线面平行、垂直所需要的条件. 对点练4.如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1处，且点A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上. 求证：(1)BC⊥A1D； (2)平面A1BC⊥平面A1BD. 证明：(1)因为点A1在平面BCD上的射影O在CD上， 所以A1O⊥底面ABCD，所以A1O⊥BC. 因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 因为A1O∩CD＝O，A1O，CD⊂平面CDA1，所以BC⊥平面CDA1. 因为A1D⊂平面CDA1，所以BC⊥A1D. (2)因为A1D⊥A1B，且BC⊥A1D，A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC， 所以A1D⊥平面A1BC. 因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BC⊥平面A1BD. 任务再现 1.二面角以及二面角的平面角.2.平面与平面垂直的性质定理.3.平面与平面垂直的判定定理.4.垂直关系的综合应用 方法提炼 定义法、定理法、转化与化归思想 易错警示 面面垂直性质定理中易忽视应在其中一个面内作两平面交线的垂线，该垂线才与另一个平面垂直 1.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.以上均有可能 答案：C 解析：因为直线l⊥平面α，l⊂平面β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，即α与β的位置关系是垂直.故选C. 2.若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 答案：A 解析：假设平面α内存在直线l满足l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β，与题设矛盾，所以平面α内不存在直线l满足l⊥β.故选A. 3.在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　) A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ADC⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADB 答案：B 解析：如图所示，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD. 又AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选B. 4.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝　　　　. 答案： 解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $