6.5.1 直线与平面垂直-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直”核心知识点，从定义（通过旗杆影子问题引入）到性质定理（垂直同一平面的两直线平行），再到直线与平面的夹角（斜线与射影的锐角），最后到判定定理（线面垂直的判定条件）及综合应用，构建递进式学习支架。 资料以生活实例（如旗杆影子）和实验活动（翻折纸片）引导学生用数学眼光观察现实，通过定理证明和问题推理培养逻辑推理素养，设置对点练和方法提炼，课中助力教师教学，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面的夹角，直线到平面的距离等概念.　2.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题，提升直观想象、数学抽象的核心素养.　3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直，提升逻辑推理的核心素养. 任务一　直线与平面垂直的定义 问题1.如图，假设旗杆AB与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，那么旗杆所在的直线AB与其影子BC所在的直线是否保持垂直？ 提示： 旗杆所在的直线AB与其影子BC所在的直线保持垂直. 问题2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示：有且只有一条. 1.直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. [微提醒]　从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离，也就是点到平面垂线段的长. 下列命题中正确的是(　　) A.如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α B.如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α C.如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线 D.如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 答案：D 解析：对于A，与平面内两条平行直线垂直时，不一定成立；对于B，由直线与平面垂直的定义知垂直于一条直线无法判断“线面垂直”；对于C，如果直线l不垂直于α，则α内存在与l垂直的直线；D显然正确.故选D. 　　主要利用直线与平面垂直的定义.若直线l与α垂直，则l与α内的任意一条直线都垂直. 对点练1.若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，则“a⊥α”⇒“a垂直α内无数条直线”.若a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面α内，则“a⊥α”⇐/ “a垂直α内无数条直线”，所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件.故选A. 学生用书⬇第173页 任务二　直线与平面垂直的性质 问题3.在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直线，那么这两条直线平行；这个性质能推广到空间吗？ 提示：不能，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'⊥AD，AB⊥AD，不能得到AA'∥AB. 问题4.在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在的直线都垂直于面ABCD，它们之间有什么位置关系？根据此结论，对于直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？ 提示：棱AA'，BB'，CC'，DD'互相平行.平行. 1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 2.如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离. [微思考]　两条异面直线能垂直于同一平面吗？ 提示：不能，根据直线与平面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行. 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点. 求证：DF∥平面ABC. 证明：如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE. 因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE，且CD＝AE， 所以FG∥CD，FG＝CD.所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG. 又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC. 线面垂直性质定理应用的关注点 1.适用前提：已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直. 2.注意：证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质. 对点练2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1. 求证：AB＝AC. 证明：如图所示，取BC的中点F，连接EF，AF. 则EF∥B1B且EF＝B1B. 从而EF∥DA且EF＝DA.则四边形ADEF为平行四边形. 从而AF∥DE， 又DE⊥平面BCC1B1，故AF⊥平面BCC1B1. 从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC. 学生用书⬇第174页 任务三　直线与平面的夹角 问题5.当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面夹角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面的夹角怎样定义？ 提示：铅笔和它在桌面上的射影的夹角. 问题6.如图，如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB的夹角和直线PA与这个平面的夹角的大小关系是什么？ 提示：直线PA与这个平面的夹角是直线PA与平面内任意直线的夹角中最小的角. 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的投影，如图中斜线PA在平面α上的投影为直线AO 直线与 平面的 夹角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角，如图中∠PAO.规定：一条直线垂直于平面，则它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，则它们的夹角是0° 取值 范围 设直线与平面的夹角为θ，则0°≤θ≤90° (链教材P240例2)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2AB＝2，E是PB的中点. 求EC与平面ABCD夹角的正切值. 解：设F为AB的中点，连接EF，FC，如图所示. 由于E是PB的中点，故EF∥PA. 又PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，又FC⊂平面ABCD， 故EF⊥FC，则∠ECF即为EC与平面ABCD的夹角. 又PA＝AD＝2AB＝2，则EF＝PA＝1，BF＝， 由底面ABCD是矩形，得BC⊥BF，则FC＝＝， 所以tan ∠ECF＝＝， 即EC与平面ABCD夹角的正切值为. 求直线与平面的夹角的一般步骤 对点练3.(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为线段AC和线段A1B的中点，则直线MN与平面A1B1BA所成角为(　　) A.30° 　　　B.45° C.60° 　　　D.75° (2)(双空题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线A1B与平面ABCD夹角的大小为　　　　； 直线AC1与平面ABCD夹角的余弦值为　　　　. 答案：(1)B　(2)45°　 解析：(1)如图所示，取AB的中点O，连接OM，ON，因为M是AC的中点，故OM∥BC. 又因正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面A1B1BA，故OM⊥平面A1B1BA，即ON是MN在平面A1B1BA上的射影，故∠MNO即直线MN与平面A1B1BA所成角. 因为N是A1B的中点，故ON＝AA1＝BC＝OM，易得∠MNO＝45°，即直线MN与平面A1B1BA所成角为45°.故选B. (2)因为A1A⊥平面ABCD，所以∠A1BA为A1B与平面ABCD的夹角，易得∠A1BA＝45°. 连接AC(图略)，因为CC1⊥平面ABCD，所以∠C1AC是直线AC1与平面ABCD的夹角. 设正方体棱长为a，在Rt△ACC1中，AC＝a，AC1＝a，所以cos ∠C1AC＝＝. 学生用书⬇第175页 任务四　直线与平面垂直的判定 问题7.如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？ 提示：如图所示，折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α 图形语言 [微思考]　两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？可以改为“无数条直线”吗？ 提示：不能改为“两条平行直线”，也不能改为“无数条直线”，因为无数条直线可能都平行. (链教材P242例4)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC. 因为∠ABC＝90°，所以BD＝AC＝AD. 又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS. 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC. 证明线面垂直的方法 1.线面垂直的定义. 2.线面垂直的判定定理. 3.如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 对点练4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，求证：BD⊥平面PAC. 证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 学生用书⬇第176页 任务五　直线与平面垂直的综合问题 如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)因为AB为☉O的直径，所以AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， 所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM， 所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， 所以AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， 因为PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB. 因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB. 　　在利用判定定理证明线面垂直时，要注意写出定理的条件，缺一不可.另外在证明线面垂直的过程中要注意线线垂直与线面垂直的相互转化. 对点练5.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝2，BC＝1，PD⊥平面PAB，求PC的长. 解：如图所示，取AD中点O，连PO，CO. 由BC∥AO，BC＝AO， 所以四边形ABCO为平行四边形，则OC∥AB. 由PD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，有PD⊥AB，所以OC⊥PD. 又AB⊥AD，所以OC⊥AD. 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以OC⊥平面PAD. 由OP⊂平面PAD，所以OC⊥PO. 由PD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，则PD⊥AP，所以OP＝AD＝1. 又OC＝AB＝2，故PC＝＝. 任务再现 1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的性质定理.3.直线与平面的夹角.4.直线与平面垂直的判定定理.5.直线与平面垂直的综合问题 方法提炼 定义法、定理法、转化与化归思想 易错警示 忽略判定定理中在平面内找的两条直线必须是相交直线 1.下列平面中的两条直线与直线a垂直，可以保证直线a与平面垂直的是(　　) ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 答案：D 解析：对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线a与平面垂直的是③④.故选D. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解析：如图所示，在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共2个.故选B. 3.(多选题)如图，在矩形纸片CDEF中，A，B分别是边CF，DE的中点.将纸片CDEF沿AB翻折后竖起放在桌面上，AC，AF与桌面接触，桌面所在平面记为α，那么下列结论正确的有(　　) A.AB∥α B.AB⊥α C.AB⊂α D.AB∩α＝A 答案：BD 解析：由图可知AB∩α＝A，故A、C错误，D正确；因为矩形纸片CDEF中，A，B分别是边CF，DE的中点，且矩形纸片竖直放在桌面上，所以AB⊥AC，AB⊥AF. 又因为AC∩AF＝A，AC，AF⊂平面α，所以AB⊥α，故B正确.故选BD. 4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为　　　　. 答案：45° 解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成角的大小为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $