6.4.1 直线与平面平行-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面平行”核心知识点，系统梳理性质定理（线面平行推线线平行）和判定定理（线线平行推线面平行），通过问题引导、定理探究、例题解析、对点练习构建学习支架，形成“线线平行→线面平行→线线平行”的逻辑脉络。 该资料以问题驱动和实例分析为特色，如通过门扇转动实例发展直观想象，借助四面体截面证明提升逻辑推理。课中辅助教师引导学生构建知识体系，课后学生可通过对点练和任务再现巩固知识，有效查漏补缺。

§4　平行关系 4.1　直线与平面平行 学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.　2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.　3.通过线面平行的性质与判定定理的应用，提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 任务一　直线与平面平行的性质 问题1.若a∥α，直线a与平面α内的直线有什么位置关系？在什么条件下，直线a与平面α内的直线平行呢？ 提示：直线a与平面α没有公共点，所以这条直线与平面内的直线平行或异面.平面α内的直线与直线a在同一平面内时平行. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β＝a⇒l∥a 图形语言 [微提醒]　线面平行的性质定理可简记为“若线面平行，则线线平行”，“线线平行”是“线面平行”的必要条件. (链教材P229例2)如图，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体. 求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理AB∥PQ. 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 利用线面平行的性质定理解题的步骤 对点练1.(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PC，AC上的点，且MN∥平面PAD，则下列说法正确的是(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 (2)如图，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)直线MN⊂平面PAC，MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以MN∥PA.故选B. (2)因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD.因为EH∥平面CBD，平面ABD∩平面BCD＝BD，EH⊂平面ABD，所以EH∥BD.由平行线的传递性可知EH∥FG.故选A. 任务二　直线与平面平行的判定 问题2.如图，门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？ 提示：无论门扇转到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面没有公共点，且与墙面是平行的. 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α 图形语言 [微提醒]　(1)线面平行的判定定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.“线线平行”是“线面平行”的充分条件.(2)要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线与已知直线平行. (链教材P230例3、P231例4)如图，在三棱锥D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点. 求证：(1)BD∥平面EFG； (2)AC∥平面EFG. 证明：(1)因为F，G分别是BC，CD的中点，所以BD∥FG. 又 BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，所以BD∥平面EFG. (2)因为E，F分别是AB，BC的中点，所以AC∥EF. 又 AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，所以AC∥平面EFG. 学生用书⬇第166页 利用判定定理证明线面平行的步骤 注意：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：空间直线平行关系的传递性法；三角形中位线法；平行四边形法；线段成比例法. 对点练2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1C1，BC的中点. 求证：C1F∥平面ABE. 证明：取AB的中点G，连接EG，FG，如图所示. 因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1. 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1. 所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 任务三　直线与平面平行的综合问题 如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点. 求证：(1)BC∥AD； (2)CE∥平面PAB. 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD， 又BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD. (2)如图所示，取F为AP中点，连接EF，BF，由E是PD的中点，所以EF∥AD且EF＝AD. 由(1)知BC∥AD，又BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC. 所以四边形BCEF为平行四边形，故CE∥BF. 因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， 所以CE∥平面PAB. 线线、线面平行的转化 　　线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行. 对点练3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，点I在棱PA上(不与端点重合)，E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：EF∥平面PBC； (2)若平面PAB∩平面EFI＝l，证明：EF∥l. 证明：(1)连接BD，如图所示， 因为底面ABCD是正方形，所以F是BD的中点. 又因为E是PD的中点，所以EF是△PBD的中位线，所以EF∥PB. 因为EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC. (2)因为EF⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，EF∥PB，所以EF∥平面PAB. 若平面PAB∩平面EFI＝l， 又EF⊂平面EFI，所以EF∥l. 任务再现 1.直线与平面平行的性质定理.2.直线与平面平行的判定定理.3.直线与平面平行的综合问题 方法提炼 定理法、转化与化归思想 易错警示 在利用直线与平面平行的性质定理和判定定理解决问题时，漏写条件 学生用书⬇第167页 1.若两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则a与平面α的位置关系是(　　) A.a∥α B.a与α相交 C.a∥α或a⊂α D.a⊂α 答案：C 2.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为底面ABCD和底面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A.1个 　　　　B.2个 C.3个 　　　　D.4个 答案：D 解析：由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB'，平面BC'，平面CD'，平面AD'均平行.故与EF平行的平面有4个.故选D. 3.如图，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 答案：B 解析：因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD.故选B. 4.如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝　　　　. 答案：5 解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝＝＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $