6.2 直观图-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦直观图的画法与应用，从水平放置的平面图形直观图入手，通过斜二测画法步骤（建系、画轴、确定线段长度等），过渡到空间几何体直观图（增加z轴，保持平行于z轴线段长度不变），最后实现直观图与原图形的还原计算，构建从平面到空间、从画法到应用的知识支架。 资料以问题情境（如矩形窗户影子、农田形状）激发兴趣，结合正五边形、正四棱锥直观图绘制等例题及对点练，培养直观想象；通过空间几何体画法步骤和三角形面积、四边形周长等还原计算，提升数学抽象。课中助力教师清晰授课，课后任务再现与易错警示帮助学生巩固，查漏补缺。

§2　直观图 学习目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，培养直观想象的核心素养.　2.能用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图，提升数学抽象的核心素养. 任务一　水平放置的平面图形的直观图的画法 问题1.如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？当平面水平放置时我们如何表示平面呢？ 提示：平行四边形.通常用平行四边形表示平面，并且把锐角画成45°. 用斜二测画法画水平放置的 平面图形的直观图的步骤及规则 [微提醒]　(1)不变的量：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度；变化的量：垂直关系，角的大小，其他线段的长度.(2)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变. (链教材P213例1)按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 解：画法： 第一步，在图①中作BG⊥x轴于点G，EH⊥x轴于点H. 第二步，建立如图②所示的坐标系x'O'y'，使得∠x'O'y'＝45°.在坐标系x'O'y'中取O'H'＝OH，O'G'＝OG，O'A'＝OA，O'F'＝OF，过F'作C'D'∥x'轴且C'D'＝CD，C'F'＝F'D'. 第三步：在平面x'O'y'中，过G'作G'B'∥y'轴，且G'B' ＝BG，过H'作H'E'∥y'轴，且H'E'＝HE，连接A'B'，B'C'，D'E'，E'A'，如图③所示. 第四步：成图，擦去辅助线，得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE的直观图，如图④所示. 关于斜二测画法作图 1.在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系，或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上. 2.建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变，纵减半”. 3.对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置. 对点练1.(1)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是(　　) (2)(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是(　　) A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.90°的角的直观图会变为45°的角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D.菱形的直观图是菱形 答案：(1)A　(2)AC 解析：(1)由斜二测画法规则，在直观图中与x'轴平行的线段长度不变，注意到正方形的对角线在y'轴上，对角线长为，经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半，故原图的对角线长是2，只有A符合题意.故选A. (2)对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图可能会变为135°的角，故B错误；C正确；菱形的直观图是平行四边形，故D错误.故选AC. 学生用书⬇第155页 任务二　空间几何体的直观图的画法 问题2.画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，那么平行于z轴的线段的平行性和长度改变吗？ 提示：平行于z轴的线段的平行性和长度都不变. 空间几何体直观图的画法步骤 1.在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. 2.画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. 3.已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. 4.已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. 5.擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. (链教材P214例2)画底面边长为3 cm、高为3 cm的正四棱锥的直观图. 解：(1)画轴，如图①所示，画x'轴、y'轴、z'轴，它们交于点O'，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°. (2)画底面，按x'轴、y'轴画正方形的直观图ABCD，取边长等于3 cm，使正方形的中心对应于点O'，在x'轴上取点E，F，使O'E＝O'F＝ cm，在y'轴上取点G，H，使O'G＝O'H＝ cm，分别过E，F，G，H作平行于x'轴、y'轴的直线，分别交于A，B，C，D四点. (3)画高(线)，在z'轴上取O'S＝3 cm. (4)成图，连接SA，SB，SC，SD，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到所要画的正四棱锥的直观图，如图②所示. 画空间几何体的直观图的关键 1.对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出. 2.画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. 3.平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致. 对点练2.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 解：画法步骤： (1)画轴.如图所示，画x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°. (2)画底面.以点O'为中点，在x'轴上取线段M'N'，使M'N'＝4 cm；在y'轴上取线段P'Q'，使P'Q'＝ cm. 分别过点M'和N'作y'轴的平行线，过点P'和Q'作x'轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. (4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图. 任务三　直观图的还原与计算 (1)已知△ABC的直观图是直角边长为a的等腰直角三角形△A1B1C1，∠B1＝，那么△ABC的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 (2)(多选题)如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是(　　) A.A'D'＝2 B.A'B'＝4 C.四边形A'B'C'D'为等腰梯形 D.四边形A'B'C'D'的周长为6＋4 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)如图所示，根据斜二测画法画出原图形，则△ABC为直角三角形，且AC＝a，AB＝2a，所以S△ABC＝×2a×a＝a2.故选C. (2)由题意可画出其直观图，其中A'B'∥C'D'，A'B'＝AB＝4，C'D'＝CD＝2，A'D'＝AD＝，故A错误，B正确；过点D'，C'分别作D'M⊥A'B'，C'N⊥A'B'，垂足分别为点M，N，故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin 45°＝1，NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1，故B'C'＝，则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正确；故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋2＝6＋2，即D错误.故选BC. 学生用书⬇第156页 　　由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点： 1.直观图中任意一点距x'轴的距离都为原图形中对应点距x轴距离的倍. 2.S直观图＝S原图.由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换. 对点练3.(1)水平放置的△ABC的直观图如图，其中B'O'＝O'C'＝2，A'O'＝，那么原△ABC是一个(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 (2)(多选题)如图，△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，则在原平面图形ABC中有(　　) A.AC＜BC B.AB＝2 C.AC＝2 D.S△ABC＝4 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，因为A'O'＝，则AO＝2，因为B'O'＝O'C'＝2，则BC＝4，所以AB＝AC＝4，即原△ABC是一个等边三角形.故选B. (2)在直观图△A'B'C'中，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，取A'B'中点D'，连接C'D'，如图①所示.则C'D'⊥A'B'，而∠B'O'C'＝45°，于是O'D'＝C'D'＝＝2，则O'A'＝1，O'C'＝＝2，B'O'＝3. 由斜二测画法规则作出△ABC，如图②所示.则OC＝O'C'＝2，OA＝2O'A'＝2，OB＝2O'B'＝6，AB＝4，AC＝＝2，BC＝＝2，S△ABC＝OC·AB＝4，显然AC＜BC，A、C、D正确，B错误.故选ACD. 任务再现 1.水平放置的平面图形的直观图的画法.2.空间几何体的直观图的画法.3.直观图的还原与计算 方法提炼 斜二测画法、转化与化归思想 易错警示 易忽视同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同 1.(多选题)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　) A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 答案：ACD 解析：根据斜二测画法可知，平行不变，即原图中的平行，直观图中也平行；原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，A、C、D正确.故选ACD. 2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成(　　) A.平行于z'轴且长度为10 cm B.平行于z'轴且长度为5 cm C.与z'轴成45°且长度为10 cm D.与z'轴成45°且长度为5 cm 答案：A 解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 3.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 答案：D 解析：△A'B'C'中，A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，所以△ABC中，AB，AC所在直线分别与x轴，y轴平行，所以AB⊥AC，因为A'B'＝A'C'，所以AC＝2AB，即AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.故选D. 4.如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C'，其中O'A'∥B'C'，∠O'A'B'＝90°，O'A'＝2B'C'＝4，A'B'＝2，则平面图形OABC的面积为　　　　. 答案：12 解析：由直角梯形O'A'B'C'可得OC＝2O'C'，∠COA＝90°，BC＝B'C'＝2，OA＝O'A'＝4，而O'C'＝＝2，故OC＝4，故直角梯形OABC的面积为×4×＝12. 学科网（北京）股份有限公司 $