6.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中球、圆柱、圆锥和圆台等简单旋转体，从旋转体概念切入，依次讲解球的定义、结构特征及性质，再到圆柱、圆锥、圆台的形成过程、相关概念与性质，最后通过轴截面转化解决计算问题，构建从概念到应用的学习支架。 该资料以实物模型观察和问题链引导，培养直观想象与数学运算核心素养，如通过半圆旋转理解球的形成，用轴截面法将立体计算转化为平面问题。课中助力教师引导学生建立空间观念，课后通过对点练和任务再现帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 学习目标 1.利用实物模型观察空间图形，了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义.　2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征，培养直观想象的核心素养.　3.在旋转体中能进行简单的计算，提升数学运算的核心素养. 任务一　球 问题1.如图，把半圆绕其直径所在的直线旋转一周，半圆弧旋转形成什么图形？如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周，圆弧旋转形成什么图形？它们各自围成什么空间几何体？ 提示：半圆弧旋转形成一个球面，圆弧旋转形成的也是一个球面，它们围成的空间几何体都是球. 学生用书⬇第151页 1.球 几何体 定义 图形及表示 相关概念 性质 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体，简称球 图中球表示为球O 球心：半圆的圆心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并且过球心的线段 (1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径； (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径 2.旋转体 (1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. (2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球. [微思考]　球面与球体是同一概念吗？ 提示：球面与球体不是同一概念，球面是旋转面，而球体是旋转体. (1)下列几何体中，不是旋转体的是(　　) (2)(多选题)下列命题中正确的是(　　) A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C.用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合 答案：(1)B　(2)BC 解析：(1)由旋转体的概念可知，选项A、C、D为旋转体，选项B不是旋转体.故选B. (2)对于A，当两点为球的直径的两个端点时，可以作无数个过球心的圆，故A错误；对于B，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，故B正确；对于C，根据球的截面圆的性质，可得不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，故C正确；对于D，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离小于或等于定长的所有点的集合，故D错误.故选BC. 　　正确理解球的概念以及球的性质，是解决问题的关键；需注意球面与球体的区别. 对点练1.(1)过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(　　) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 (2)给出下列命题，其中真命题的个数是(　　) ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②不过球心的截面截得的圆面的半径小于球的半径； ③一个平面截球，截面是一个圆面. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.故选B. (2)对于①，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误；对于②，过球心的截面是半径最大的截面，且截面的半径就是球的半径，故②正确；对于③，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确.故选C. 任务二　圆柱、圆锥、圆台 问题2.如图所示的空间几何体叫作圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？ 提示：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体叫作圆柱. 问题3.将一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周，那么其余两边旋转形成的面所围成的几何体是一个什么样的空间图形？将一个直角梯形以垂直于底边的腰为轴旋转一周，那么其余各边旋转形成的面所围成的几何体是什么图形？ 提示：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫作圆锥.大致图形如图所示： 一个直角梯形以垂直于底边的腰为轴旋转一周，那么其余各边旋转形成的面所围成的几何体叫作圆台. 学生用书⬇第152页 圆柱、圆锥、圆台 几何体 定义 图形及表示 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆柱 图中圆柱表示为圆柱O1O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥 图中圆锥表示为圆锥SO 圆台 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台 图中圆台表示为圆台O1O 相关概念： 高：在旋转轴上的这条边的长度； 底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面； 侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面； 侧面的母线：无论转到什么位置，不垂直于旋转轴的边 性质： (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆面； (2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形 [微思考]　从圆柱、圆锥、圆台的底面变化的角度，圆柱、圆锥、圆台之间有什么联系呢？ 提示： 当底面发生变化时，圆柱、圆锥、圆台三者之间可以相互转化.将圆台的上底面慢慢扩大，当扩大到与下底面相等时，圆台转化为圆柱；将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点(上底面的圆心)时，圆台转化为圆锥.如图所示. (1)如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？(　　) (2)(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A.圆柱的母线与它的轴可以不平行 B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 答案：(1)A　(2)BD 解析：(1)对于B，旋转一周后，为两个圆锥拼成的几何体，如图①；对于C，旋转一周后，为圆锥和圆柱拼成的几何体，如图②；对于D，旋转一周后，是上下两个圆锥，中间用圆柱相连的几何体，如图③；对于A，旋转一周后，是圆台和圆锥形成的几何体，只有A符合题意.故选A. (2)对于A，圆柱的母线与它的轴平行，故A错误；对于B，圆锥的顶点与底面圆的圆心连线垂直于底面，所以圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形，故B正确；对于C，根据母线的定义，故C错误；对于D，圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故D正确.故选BD. 判断旋转体形状的步骤 第1步：明确旋转轴l； 第2步：确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系； 第3步：依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状. 对点练2.(1)在数学实践课堂上小明将手中的非等腰直角三角形板绕着该直角板的斜边旋转一周，得到的几何体为(　　) A.圆柱 B.两个大小相同的圆锥组成的组合体 C.两个大小不同的圆锥组成的组合体 D.八面体 (2)(多选题)下列说法正确的是(　　) A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B.以等腰三角形底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的面所围成的几何体是圆锥 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)因为三角形板为非等腰直角三角形板，所以绕着该直角板的斜边旋转一周后得到的是两个大小不同的圆锥组成的组合体.故选C. (2)对于A，以直角梯形中垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故A错误； 对于B，以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；对于C，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故C正确；对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.故选BC. 学生用书⬇第153页 任务三　旋转体中的计算问题 在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求这个球的半径. 解：如图所示为球的轴截面，设球的半径为R cm， 因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm. 同理，π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm， 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202. 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得x＝15，所以R2＝x2＋202＝252， 所以R＝25，即这个球的半径为25 cm. 旋转体中有关计算问题的关注点 1.方法：利用轴截面，将立体问题平面化. 2.常见问题及解题策略 (1)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. (2)圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解. (3)球中的计算一般化为解直角三角形， 球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝.如图所示. 对点练3.(1)已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.3 (2)若一个圆锥的母线长为2，且底面面积为4π，则此圆锥的高为　　　　. 答案：(1)C　(2)2 解析：(1)如图所示，由已知得，OA＝2，MB＝5，OM＝4， 所以在直角梯形OMBA中，AB＝＝＝5，所以圆台的母线长为5.故选C. (2)如图所示，设底面圆半径为r，结合面积为4π，得πr2＝4π，解得r＝2，所以圆锥的高为h＝＝2. 任务再现 1.旋转体的概念.2.球的结构特征.3.圆柱、圆锥、圆台的结构特征.4.旋转体的计算问题 方法提炼 分类讨论思想、转化与化归思想 易错警示 易忽视同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的 1.小明在海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面总是圆面，则这个几何体是(　　) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 答案：C 解析：由球的结构特征可知，球的轴截面是一个圆面，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，故A、B、D错误，C正确.故选C. 2.如图，这个几何体的主要结构特征是(　　) A.圆锥和圆柱的组合体 B.球和圆柱的组合体 C.圆锥和棱柱的组合体 D.球和棱柱的组合体 答案：D 解析：由图可知，该几何体是由一个球和棱柱构成的组合体.故选D. 3.下列说法正确的是(　　) A.通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线 B.圆柱的上底面与下底面互相平行 C.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥 D.圆旋转一周得到的几何体一定是球 答案：B 解析：对于A，通过圆台侧面上一点只能做出1条母线，故A错误；对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确；对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故C错误；对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误.故选B. 4.轴截面图形为正方形的圆柱叫作等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，则该等边圆柱的底面周长为　　　　 cm. 答案：4π 解析：如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.轴截面ABCD的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2 cm.故该等边圆柱的底面周长C＝2πr＝4π(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $