第4章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦两角和与差的正弦、正切公式及其应用，以Cα±β公式和诱导公式为基础，通过问题链引导推导公式，知识填空明确结构与条件，自主检验夯实基础，构建“推导-理解-应用”的学习支架。 资料以问题驱动公式推导，如通过“用Cα±β推导sin(α+β)”培养逻辑推理素养，题型涵盖化简求值、给值求值，例1逆用公式、例2拆角技巧提升数学运算能力。课中助力教师引导探究，课后自主检验与题型练习帮助学生巩固应用，查漏补缺。

2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学习目标 素养要求 1．能利用Cα±β公式，诱导公式等推导两角和与差的正弦，正切公式． 2．掌握两角和与差的正弦和正切公式，并能利用公式化简、求值等． 1．通过两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过两角和与差的正弦、正切公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　两角和与差的正弦公式 [问题1]　 由公式Cα＋β或Cα－β可求sin 75°的值吗？ 答：可以，因为sin 75°＝cos 15°＝cos (45°－30°). [问题2]　由公式Cα±β可以得到sin (α＋β)的公式吗？ 答：可以，sin (α＋β)＝cos ＝cos ＝sin αcos β＋cos αsin β. [问题3]　能利用上述公式把sin (α－β)用sin α，cos α，sin β，cos β表示吗？ 答：能．用－β代β即可． ►知识填空 两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正弦 sin (α＋β)＝__sin_αcos_β＋cos_αsin_β__ Sα＋β α，β∈R 两角差 的正弦 sin (α－β)＝__sin_αcos_β－cos_αsin_β__ Sα－β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正切公式 [问题1]　利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan (α＋β)用tan α，tan β表示吗？ 答：能．tan (α＋β)＝ ＝＝. [问题2]　能用tan α，tan β表示tan (α－β)吗？ 答：能．将tan (α－β)＝tan [α＋(－β)]展开即可． [问题3]　公式中，α，β是任意实数吗？ 答：不是，α，β，α±β≠kπ＋，k∈Z. ►知识填空 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan (α＋β) ＝ Tα＋β α，β，α＋β≠ kπ＋，k∈Z. 两角差 的正切 tan (α－β) ＝ Tα－β α，β，α－β≠ kπ＋，k∈Z. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)对于任意α，β∈R，sin (α－β)＝sin α－sin β都不成立．(　　) (3)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立．(　　) (4)tan (α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β).(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．sin 76°cos 16°－cos 76°sin 16°＝________． 解析：原式＝sin (76°－16°)＝sin 60°＝. 答案： 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝__________． 解析：∵cos α＝－，α是第三象限的角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin α－cos α ＝×－×＝－. 答案：－ 4．tan 285°的值等于(　　) A．2＋　　　　　　　　 B．2－ C．－2－ D．－2＋ 答案：C 题型一　利用公式Sα±β，Tα±β化简求值 [例1]　化简求值： (1)； (2)cos (x＋27°)cos (x－18°)＋sin (x＋27°)sin (x－18°)； (3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°. 解：(1)原式 ＝ ＝ ＝＝. (2)原式＝cos [(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝. (3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1， ∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， ∴tan 12°＋sin 33°＋tan 12°tan 33°＝1. [反思感悟] 公式的活用 公式的运用强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解．“活”体现在①正用：如本题中的(1)；②逆用：如本题中的(2)；③变用：变用涉及两个方面，一个是公式本身的变用，如本题中的(3)，一个是角的变角，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，从某种意义上来说，是一种整体思想的体现，如cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心． 1. (1＋tan 21°) (1＋tan 22°) (1＋tan 23°) (1＋tan 24°)的值为__________． 答案：4 2．[2sin 50°＋ sin 10°(1＋tan 10°)]×的值为________． 答案： 题型二　给值求值问题 [例2]　(1)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 (2)已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值． 解析：(1)由已知得2tan θ－＝7， 解得tan θ＝2.故选D. 答案：D (2)因为<β<α<， 所以0<α－β<，π<α＋β<. 所以sin (α－β)＝ ＝ ＝， cos (α＋β)＝－ ＝－ ＝－. 所以cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)] ＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β) ＝×－×＝－， cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)] ＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝×＋×＝－. [反思感悟] 给值求值的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是 (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． 已知tan (π＋α)＝－，tan (α＋β)＝. (1)求tan (α＋β)的值； (2)求tan β的值． 解：(1)因为tan (π＋α)＝－， 所以tan α＝－. 因为tan (α＋β)＝ ＝， 所以tan (α＋β)＝＝. (2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝， 所以tan β＝＝. [课堂小结] 1．和(差)角公式的结构特征和符号规律 (1)对于公式Cα－β，Cα＋β可记为“同名相乘，符号反”； (2)对于公式Sα－β，Sα＋β可记为“异名相乘，符号同”． (3)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos (α＋β)－cos βsin (α＋β)时，不要将cos (α＋β)和sin (α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos (α＋β)－cos βsin (α＋β)＝sin [β－(α＋β)]＝sin (－α)＝－sin α. 另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．特别要注意tan ＝，tan ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $