2.2.1 向量的加法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦向量加法核心知识点，从位移合成等实际问题切入，通过平行四边形法则和三角形法则定义向量加法，结合交换律、结合律运算律，构建“实际情境-概念定义-法则应用”的学习支架，衔接向量几何表示与后续运算知识。 该资料以问题驱动（如天车位移、张先生出差）引导学生用数学眼光观察现实，通过图形验证运算律培养逻辑推理思维，实际应用（救援飞机位置、力的合成）强化数学语言表达。课中例题与对点练助力教师授课，课后任务再现与易错警示帮助学生查漏补缺。

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义.　2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的和向量，提升直观想象的核心素养.　3.了解向量加法的交换律和结合律，通过向量加法运算律的应用，提升逻辑推理的核心素养. 任务一　向量加法的定义 问题1.物体在天车(生产车间或工地起重作业设备)的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移可以看作竖直向上方向的位移与水平向右方向的位移的合成，请画出位移的合成. 提示：如图所示. 问题2.假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示：如图所示. 张先生的两次位移，的结果与从点A直接到点C的位移，即c相同. 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则、三角形法则： 定义 图形表示 向量 加法 的平 行四 边形 法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则 向量 加法 的三 角形 法则 如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则 由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量， 即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 [微提醒]　(1)运用平行四边形法则时a，b，a＋b同起点.(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.(3)两向量的和仍为向量，实数与向量不能进行加法运算. (链教材P85例1) (1)如图①，求作向量a＋b； (2)如图②，求作向量a＋b＋c. 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示. (2)法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b，则向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c. 法二(平行四边形法则)：如图②所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c. 学生用书⬇第59页 　　在作向量的和向量时，平行四边形法则应注意“共起点”，三角形法则则注意 “首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点；当两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用. 对点练1.(1)在四边形MNPQ中，若＝＋，则四边形MNPQ是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 (2)如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则(　　) A.＋＝ B.＋＋＝ C.＋＋＝ D.＋＝ 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)＝＋，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形.故选A. (2)＋是以DA，DP为邻边的平行四边形的AP外的另一条对角线，故A错误；＋＋＝，故B正确；＋＋＝，故C错误；＋是以PA，PB为邻边的平行四边的AB外的另一条对角线，故D错误.故选B. 任务二　向量加法的运算律 问题3.实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： (a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝， a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 问题4.实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： a＋b＝＋＝，b＋a＝＋＝，所以a＋b＝b＋a. 向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [微提醒]　(1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.(2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0. 向量运算中化简的两种方法 1.代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”， 通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 2.几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简. 对点练2.设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝0＋＝. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 学生用书⬇第60页 任务三　向量加法的实际应用 (链教材P85例2)一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 解：如图所示，设，分别表示直升飞机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋. 在Rt△ABD中，｜｜＝20 km，｜｜＝20 km. 在Rt△ACD中，｜｜＝(20＋40)km＝60 km，｜｜＝＝40 km， ∠CAD＝60°， 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km的C处. 应用向量解决实际问题的基本步骤 第1步，(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第2步，(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第3步，(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 对点练3.如图，两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1的大小为40 N，方向向东，F2的大小为30 N，方向向北，求它们的合力. 解：因为F1的大小为40 N，方向向东，F2的大小为30 N，方向向北， 设合力为F，则F＝F1＋F2，且F1⊥F2， 所以＝＝50，又tan θ＝＝＝， 所以合力的大小为50 N，方向为东偏北正切值为的锐角. 任务再现 1.向量加法的定义，向量加法的平行四边形法则和三角形法则.2.向量加法的运算律.3.向量加法的实际应用 方法提炼 平行四边形法则、三角形法则、数形结合思想方法 易错警示 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点 1.＋＝(　　) A.0 B. C. D. 答案：D 解析：依题意，可得＋＝.故选D. 2.在平行四边形ABCD中，＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：在▱ABCD中，＝，＝，所以＋＝＋＝.故选A. 3.如图，方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是，所以即为所求的向量.故选B. 4.(双空题)若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则｜a＋b｜＝　　　　 km；向量a＋b的方向为　　　　. 答案：8　东北 解析：如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以｜a＋b｜＝｜｜＝＝8(km).因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北. 学科网（北京）股份有限公司 $