2.1.1 位移、速度、力与向量的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平面向量的概念及应用，从位移、速度、力等物理量入手抽象出向量定义，系统梳理向量的几何与字母表示方法，明确零向量、单位向量等概念，构建从实际背景到抽象概念再到综合应用的学习支架。 资料以情境问题链引导学生用数学眼光观察现实世界，通过有向线段表示向量培养直观想象，结合汽车行驶路径、象棋马走步等实例强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后通过对点练和任务再现帮助学生查漏补缺，深化理解。

§1　从位移、速度、力到向量 1.1　位移、速度、力与向量的概念 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义，培养数学抽象的核心素养.　2.理解平面向量的几何表示和基本要素，会用字母表示向量，提升直观想象的核心素养.　3.理解零向量、单位向量、向量的模等概念，培养数学抽象的核心素养. 任务一　向量的概念 问题1.观察下列三个情境中反映的物理量有什么共同的特点. 情境1　学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2 000 m.从小明家到学校，可能有长短不同的几条路，无论走哪条路，位移都是向北偏东60°方向移动了2 000 m(如图①). 情境2　某著名运动员投掷标枪时，其中一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图②). 情境3　汽车沿倾斜角为θ的坡路向上行驶，汽车的牵引力为F(如图③). 提示：三个情境中反映的物理量有位移、速度和力，这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同，在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小又有方向的量还有很多，如加速度、动量等. 向量与数量 1.向量：既有大小又有方向的量统称为向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. [微提醒]　(1)向量有两个基本要素——“大小”和“方向”，向量由“大小”和“方向”唯一确定.(2)向量有大小，说明向量具有“数”的特点，向量有方向，说明向量具有“形”的特点. 给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是(　　) A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 答案：D 解析：由物理知识可知，密度、路程、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量.故选D. 向量与数量的联系和区别 　　向量与数量都是有大小的量；向量有方向但不能比较大小，数量无方向但能比较大小. 对点练1.下列各量中是向量的为(　　) A.海拔 B.压强 C.重力 D.温度 答案：C 解析：因为海拔、压强、温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量.故选C. 学生用书⬇第53页 任务二　向量的表示方法 问题2.在物理学中，位移、速度和力通常用一条带箭头的有向线段表示，这种表示方法是否可以表示向量呢？ 提示：可以.箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小. 有向 线段 具有方向和长度的线段称为有向线段，如图，以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作｜｜ 向量 的表示 几何 表示 向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 字母 表示 向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示 向量 的模 向量a的大小，记作｜a｜，又称作向量的模 [微思考]　向量就是有向线段吗？向量能比较大小吗？向量的模能比较大小吗？ 提示：有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. (链教材P79例1)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量，，； (2)求｜｜. 解：(1)向量，，如图所示. (2)依题意可知，四边形ABCD为平行四边形，所以｜｜＝｜｜＝200 km. 用有向线段表示向量的步骤 对点练2.(1)如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出　　　　个非零向量. (2)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中.若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有　　　　个. 答案：(1)6　(2)11 解析：(1)依题意，可得所有非零向量有，，，，，，共有6个. (2)如图所示，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个，所以共有11个. 任务三　两类特殊向量 问题3.我们如何定义模为0、模为1个单位长度的向量呢？ 提示：模为0的向量称为零向量；模为1个单位长度的向量称为单位向量. 零向量与单位向量 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 学生用书⬇第54页 下列说法中正确的是(　　) A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量都是同方向的 D.单位向量的长度都相等 答案：D 解析：对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误；对于B，零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故C错误；对于D，长度等于1个单位长度的向量称为单位向量，故D正确.故选D. 　　对于单位向量与零向量的概念的判断，要特别注意方向问题. 对点练3.(1)(多选题)关于平面向量，下列说法正确的是(　　) A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.若单位向量的起点相同，那么终点在同一个圆上 D.零向量是没有方向的 (2)下列说法中正确的是(　　) A.向量的模都是正实数 B.单位向量的方向与大小都相同 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案：(1)BC　(2)C 解析：(1)向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，故A错误，B正确，C正确；零向量方向任意，D错误.故选BC. (2)零向量的模为0，故A不正确；单位向量的大小相同但方向不一定相同，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.故选C. 任务四　向量概念的综合应用 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地. (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)依题意，作出向量，，，，如图所示. (2)依题意，知△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形，则AD＝1 000 km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km. 　　在利用有向线段表示向量时要注意方向和长度单位的选取；在计算模时注意在三角形中解决. 对点练4.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)中，画出下列向量. (1)，使＝3，点A在点O的正西方向； (2)，使＝3，点B在点O的北偏西45°方向； (3)求出的值. 解：(1)因为＝3，点A在点O的正西方向，故向量的图示如下. (2)因为＝3，点B在点O的北偏西45°方向，故向量的图示如下. (3) ＝＝3. 任务 再现 1.向量的概念.2.向量的表示方法.3.两类特殊向量(零向量、单位向量).4.向量概念的综合应用 方法 提炼 数形结合思想方法 易错 警示 零向量和单位向量的方向易混淆 学生用书⬇第55页 1.下列说法正确的是(　　) A.身高是一个向量 B.∠AOB的两条边都是向量 C.物理学中的加速度是向量 D.物理学中的压强是向量 答案：C 解析：加速度既有大小又有方向是向量，只有C正确，其他选项都错误. 2.已知向量a如图，下列说法不正确的是(　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 答案：D 解析：由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确.故选D. 3.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 答案：AC 解析：对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误；对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确；对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误.故选AC. 4.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是　　　　　　　　. 答案：西北方向5 km 解析：依题意，画出图形如图所示.由图可知｜｜＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km. 学科网（北京）股份有限公司 $