2.1.1 位移、速度、力与向量的概念&2.1.2 向量的基本关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第二章 平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量　► 对应学生用书P32 1．1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系 [课程标准]　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　2.理解平面向量的几何表示和基本要素． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、向量的概念与几个特殊向量 1．向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小又有方向的量统称为向量． (2)有向线段：在数学中，具有方向和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. (3)向量的表示： 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如，… 字母表示：用黑斜体小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头 2.向量的模与特殊向量 (1)向量的模的定义：向量的大小称作向量的模． (2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作||，|a|. (3)特殊向量： ①长度为0的向量称为零向量，记作0，任何方向都可以作为零向量的方向． ②模等于1个单位长度的向量称为单位向量． 二、向量的基本关系 名称 定义 表示方法 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 共线向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量． 规定：零向量与任一向量共线 向量a与b共线或平行，记作a∥b 相反向量 长度相等、方向相反的向量 向量a的相反向量记作－a 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角 说明：(1)关于夹角的特殊说明：①当θ＝0°时，向量a与b同向；②当θ＝180°时，向量a与b反向；③当θ＝90°时，向量a与b垂直，记作a⊥b. (2)规定：零向量与任一向量垂直． 【基点小试】 1．下列不是向量的是(　　) A．力 B．速度 C．质量 D．加速度 解析：选C.质量只有大小，没有方向，不是向量． 2．下列结论中正确的是(　　) ①若a∥b且＝，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且＝； ③若a与b方向相同且＝，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且≠. A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 解析：选B.若a∥b且＝，则a＝b或a＝－b，则①错；若a＝b，则a∥b且＝，则②正确；若a与b方向相同且＝，则a＝b，则③正确；若a≠b，则a与b方向不定，且与大小也不定，则④错． 3．下列结论正确的是(　　) A．向量必须用有向线段来表示 B．表示一个向量的有向线段是唯一的 C．有向线段和是同一向量 D．有向线段和的大小相等 解析：选D.向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，所以选项B错误；有向线段和的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，选项D正确． 4．下列关于向量的说法正确的是(　　) A．始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同 B．始点相同，相等的两个非零向量的终点相同 C．两个平行的非零向量的方向相同 D．两个共线的非零向量的始点与终点一定共线 解析：选B.始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故A不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故B正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故C不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故D不正确． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　向量有关概念的理解 例1.判断下列说法是否正确． ①零向量只有大小没有方向； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上； ⑤对任一向量a，|a|>0恒成立． 解：①不正确．任何方向都可以作为零向量的方向； ②不正确．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上； ⑤不正确．当a＝0时，|a|＝0，故|a|>0不恒成立． [总结]　求解与向量有关概念的方法 解决与向量概念有关题目的关键是突