1.1 周期变化-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§1　周期变化 学习目标 1.了解现实生活中的周期现象，并能判断其周期.　2.了解周期函数的概念与最小正周期的意义，培养数学抽象的核心素养.　3.会利用函数的周期性解决问题，提升逻辑推理的核心素养. 任务一　周期变化现象 问题1.“天津之眼”摩天轮的直径为110米，旋转一周需28分钟，顶点高度为119.8米.如果你从最低点登上摩天轮，你与地面的距离随时间的变化而变化，这种现象是周期现象吗？转两圈需要多少时间？ 提示：是周期现象，且转两圈需要56分钟. 每经过相同(时间)间隔，某种现象就重复出现一次，这种现象称为周期变化现象.这个间隔就是周期. [微提醒]　(1)周期变化现象的周期的单位不一定是时间，也可以是角度等. (2)若某物体做周期运动(或变化)，则这个物体从任一状态开始运动(或变化)，经过一个周期(或周期的整数倍)后，总是回到开始的状态. 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由. (1)地球的自转； (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数； (3)钟表的秒针的转动； (4)某段高速公路每天通过的车辆数. 解：(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象. (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1，2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象. (3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象. (4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象. 　　周期现象的判断关键点：“间隔相同，现象(或值)重复出现”、“周而复始”等特征. 对点练1.(多选题)下列现象是周期现象的是(　　) A.挂在弹簧下方作上下振动的小球 B.游乐场中摩天轮的运行 C.抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D.每四年出现一个闰年 答案：ABD 解析：周期现象是指间隔相等而重复出现的现象，由此可知A、B、D均为周期现象，C不是周期现象.故选ABD. 任务二　周期函数 问题2.已知[x]表示不超过x的最大整数，画出下列函数的图象，并观察其图象是否具有周期现象？ (1)f(x)＝(－1)[x]；(2)f(x)＝x－[x]. 提示：(1)f(x)＝(－1)[x]的图象如图①所示，具有周期现象. (2)f(x)＝x－[x]的图象如图②所示，具有周期现象. 学生用书⬇第2页 周期函数的概念与最小正周期 周期 函数 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期 最小 正周 期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期 [微思考]　(1)是否所有的函数都是周期函数？周期函数的周期唯一吗？ (2)所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：(1)不是所有的函数都是周期函数，如y＝x＋1就不是周期函数；周期函数的周期不唯一，若T为f(x)的周期，则nT(n∈N＋)也是f(x)的周期. (2)不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)＝0，不存在最小正周期. (链教材P3例3)(1)造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化.如图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是(　　) A.5.5天 B.7天 C.14天 D.20天 答案：B 解析：由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天亮度等级相同，所以此造父变星亮度变化的周期是7天.故选B. (2)已知定义在N上的函数f(n)满足f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n). 求证：f(n)是周期函数，并求出其周期. 证明：因为f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)， 所以f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1)＝[f(n＋1)－f(n)]－f(n＋1)＝－f(n)， 所以f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n). 所以f(n)是周期函数，周期为6. 　　判定或证明函数f(x)是周期函数关键是找到满足周期函数定义中的非零常数T. 对点练2.(1)挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合　　　　次(注意：0时开始的那次重合不计算在内)(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 (2)函数y＝2 025＋(－1)n，n∈N的周期是 　　　　. 答案：(1)C　(2)2 解析：(1)从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时，由题意知，0时开始的那次重合不计算在内，因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次，所以一共会重合13次.故选C. (2)当n∈N时，该函数的取值为2 026，2 024，2 026，2 024，2 026，2 024，…，可见它是周期函数，且周期为T＝2. 任务三　函数周期性的推断与应用 已知周期函数y＝f(x)的图象，如图. (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； (3)写出函数y＝f(x)的解析式. 解：(1)T＝1－(－1)＝2. (2)把y＝f(x)向左平移一个单位得y＝f(x＋1)的图象，如图所示. (3)y＝＝｜x｜，x∈[－1，1]， 所以y＝｜x－2k｜，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z. 1.常用结论 已知a＞0且a为常数，若函数y＝f(x)对定义域内任一实数x： (1)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a； (2)满足f(x＋a)＝±，则f(x)的周期T＝2a； (3)满足f(x＋a)＝f(x－a)， 则f(x)的周期T＝2a. 2.利用周期性求函数值、解析式、研究函数的性质，关键是利用性质f(x＋kT)＝f(x)(其中，T为f(x)的周期，k∈Z且k≠0)转化到对应的区间上. 对点练3.函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈. (1)画出函数f(x)在区间上的图象，并求其单调区间； (2)求f的值； 学生用书⬇第3页 (3)求f(x)在区间上的解析式，其中n∈Z. 解：(1)由f(x)的周期性及x∈上的解析式，得区间上的图象如下： 由上图知：增区间为[－2，－1)，[0，1)，减区间为[－1，0)，[1，2]. (2)由题设f＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝(－0.5)2＝0.25. (3)令x∈⇒x－2n∈[－1，1]且n∈Z，则f＝(x－2n)2， 又f＝f(x)，则f(x)＝f，即f(x)＝(x－2n)2， 综上，在区间上f(x)＝(x－2n)2，n∈Z. 任务再现 1.周期变化现象.2.周期函数与最小正周期的概念.3.函数周期性的推断与应用 方法提炼 转化法、数形结合思想 易错警示 周期函数不一定都有最小正周期 1.下列现象不是周期现象的是(　　) A.“春去春又回” B.钟表的分针每小时转一圈 C.“哈雷彗星”的运行 D.某同学每天上数学课的时间 答案：D 解析：对于A，每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B，分针每小时转一圈，是周期现象；对于C，天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行是周期现象；对于D，某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象.故选D. 2.下列函数图象中，不具有周期性的是(　　) 答案：C 解析：因为C选项中x∈(－2，2)之间的图象在前后都没有重复出现，所以C选项的函数图象不具有周期性.故选C. 3.如图，是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是(　　) A.2T B.T C. D. 答案：B 解析：因为整个运动刚好是一个周期，所以经历的时间是一个周期T.故选B. 4.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2 025，那么f(11)＝　　　　. 答案：2 025 解析：f(11)＝f(1＋2×5)＝f(1)＝2 025. 学科网（北京）股份有限公司 $