6.1 平面向量的概念讲义（知识梳理+题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，从实际背景出发梳理向量的定义（既有大小又有方向），通过几何与字母表示建立直观认知，进而阐述向量的模、零向量、单位向量等特殊向量，最后明确相等向量与共线向量的关系，构建完整的知识学习支架。 资料以典例精讲（如判断向量概念、求单位向量、平行四边形中共线向量）与变式练习结合，辅以核心技巧（如找相等向量先看方向再看长度）和易错提醒（如区分相等与共线向量），培养学生用数学眼光抽象向量本质、用数学思维推理判断，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

6.1 平面向量的概念讲义 基础知识梳理 1. 向量的实际背景与概念 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 数量的定义：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度等）。 向量的表示： 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 字母表示：用小写字母 、、… 表示；或用有向线段的起点和终点字母表示，如 。 2. 向量的几何表示 向量的模：向量 （或 ）的大小，叫做向量的模（或长度），记作 （或 ）。 零向量：长度为 的向量，记作 。零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于 个单位长度的向量，叫做单位向量。与非零向量 同方向的单位向量记作 。 3. 相等向量与共线向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量 与 相等，记作 。 注意：只要大小和方向相同，起点不同的向量也是相等向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量 与 平行，记作 。 规定：零向量与任意向量平行，即 对任意向量 成立。 注意：平行向量所在的直线可以平行，也可以重合。 典例精讲 典例1：向量的概念与表示 题目：下列说法中正确的是（ ） A. 向量 与 是相等向量 B. 若 ，则 C. 向量的大小与方向有关 D. 零向量的方向是任意的 变式1下列说法中错误的是（ ） A. 向量是既有大小又有方向的量 B. 长度相等的向量叫做相等向量 C. 零向量的长度为 D. 单位向量的长度为 典例2：向量的模、零向量与单位向量 题目：已知向量 的模 ，则与 同方向的单位向量 ______。 变式2已知向量 的模 ，则与 反方向的单位向量 ______。 典例3：相等向量与共线向量 题目：如图，在平行四边形 中， 是对角线 、 的交点。 (1) 写出与 相等的向量； (2) 写出与 共线的向量。 变式3 在正六边形 中， 是中心。 (1) 写出与 相等的向量； (2) 写出与 共线的向量。 【核心技巧】 · 判断向量相关概念：紧扣定义，区分“大小”和“方向”两个要素。 · 找相等向量：先看方向是否相同，再看长度是否相等。 · 找共线向量：只要方向相同或相反，无论长度如何，都是共线向量。 · 单位向量：利用公式 计算，注意方向。 【易错提醒】 · 误区1：认为“长度相等的向量就是相等向量”。相等向量必须同时满足“长度相等”和“方向相同”。 · 误区2：忽略零向量的特殊性。零向量的方向是任意的，且与任意向量平行。 · 误区3：混淆“共线向量”与“在同一条直线上的向量”。共线向量所在的直线可以平行，也可以重合。 · 误区4：认为向量 与 相等。它们的模相等，但方向相反，是相反向量。 1．下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距度 C．力 D．体重 2．对下面图形的表示恰当的是（    ）    A． B． C． D． 3．若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 4．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（    ） A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 6．下列命题中正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．若和是都是单位向量，则 C．若，则与的夹角为0° D．零向量与任何向量共线 7．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 8．给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．下列说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量，必有 D．若满足且与同向，则 10．设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 11．设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（多选题）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 13．（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 14．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 15．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则 16．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 17．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心.（1）与相等的向量有______________；（2）与相等的向量有__________；（3）与共线的向量有__________. 18．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 19．有下列命题： ①单位向量一定相等； ②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 20．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 平面向量的概念讲义 基础知识梳理 1. 向量的实际背景与概念 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 数量的定义：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度等）。 向量的表示： 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 字母表示：用小写字母 、、… 表示；或用有向线段的起点和终点字母表示，如 。 2. 向量的几何表示 向量的模：向量 （或 ）的大小，叫做向量的模（或长度），记作 （或 ）。 零向量：长度为 的向量，记作 。零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于 个单位长度的向量，叫做单位向量。与非零向量 同方向的单位向量记作 。 3. 相等向量与共线向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量 与 相等，记作 。 注意：只要大小和方向相同，起点不同的向量也是相等向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量 与 平行，记作 。 规定：零向量与任意向量平行，即 对任意向量 成立。 注意：平行向量所在的直线可以平行，也可以重合。 典例精讲 典例1：向量的概念与表示 题目：下列说法中正确的是（ ） A. 向量 与 是相等向量 B. 若 ，则 C. 向量的大小与方向有关 D. 零向量的方向是任意的 【解析】A： 与 方向相反，不是相等向量，故A错误。 B： 只说明模相等，但方向不一定相同，因此 与 不一定相等，故B错误。 C：向量的大小（模）与方向无关，故C错误。 D：零向量的方向是任意的，故D正确。 【答案】D。 变式1下列说法中错误的是（ ） A. 向量是既有大小又有方向的量 B. 长度相等的向量叫做相等向量 C. 零向量的长度为 D. 单位向量的长度为 【解析】A：符合向量的定义，正确。 B：相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误。 C：零向量的定义，正确。 D：单位向量的定义，正确。 【答案】B。 典例2：向量的模、零向量与单位向量 题目：已知向量 的模 ，则与 同方向的单位向量 ______。 【解析】与非零向量 同方向的单位向量公式为： 代入 ，得： 【答案】。 变式2已知向量 的模 ，则与 反方向的单位向量 ______。 【解析】与非零向量 反方向的单位向量公式为： 代入 ，得： 【答案】。 典例3：相等向量与共线向量 题目：如图，在平行四边形 中， 是对角线 、 的交点。 (1) 写出与 相等的向量； (2) 写出与 共线的向量。 【解析】(1) 在平行四边形 中， 且 ，方向相同，因此与 相等的向量是 。 (2) 与 共线的向量，即方向相同或相反的向量，有：、、。 【答案】(1) ；(2) 、、。 变式3 在正六边形 中， 是中心。 (1) 写出与 相等的向量； (2) 写出与 共线的向量。 【解析】(1) 在正六边形 中， 且 ，方向相同，因此与 相等的向量是 、。 (2) 与 共线的向量有：、、、、、、。 【答案】(1) 、；(2) 、、、、、、。 【核心技巧】 · 判断向量相关概念：紧扣定义，区分“大小”和“方向”两个要素。 · 找相等向量：先看方向是否相同，再看长度是否相等。 · 找共线向量：只要方向相同或相反，无论长度如何，都是共线向量。 · 单位向量：利用公式 计算，注意方向。 【易错提醒】 · 误区1：认为“长度相等的向量就是相等向量”。相等向量必须同时满足“长度相等”和“方向相同”。 · 误区2：忽略零向量的特殊性。零向量的方向是任意的，且与任意向量平行。 · 误区3：混淆“共线向量”与“在同一条直线上的向量”。共线向量所在的直线可以平行，也可以重合。 · 误区4：认为向量 与 相等。它们的模相等，但方向相反，是相反向量。 1．下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距度 C．力 D．体重 【答案】C 【解析】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.故选C. 2．对下面图形的表示恰当的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选C. 3．若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 【答案】D 【解析】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同， 所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量， 所以A，B，C都是错误的， 但是与一定不都是零向量． 故选D. 4．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相等向量的定义即可得答案. 【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心， 所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确； 与只是模相等的向量，故B错误； 与只是模相等的向量，故C错误； 与只是模相等的向量，故D错误. 故选：A. 5．下列命题正确的是（    ） A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误； 对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确； 对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C. 6．下列命题中正确的有（    ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．若和是都是单位向量，则 C．若，则与的夹角为0° D．零向量与任何向量共线 【答案】D 【解析】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误； 对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误； 对C，若，则与的夹角为或，故C错误； 对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确. 故选D. 7．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【解析】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共8个．故选C． 8．给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可． 【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确； 对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误； 对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B． 9．下列说法中正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量，必有 D．若满足且与同向，则 【答案】C 【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断. 【详解】依题意， 对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误； 对于B，平行向量就是共线向量，故错误； 对于C，若同向共线，， 若反向共线，， 若不共线，根据向量加法的三角形法则及 两边之和大于第三边知. 综上可知对于任意向量，必有，故正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故错误. 故选：C. 10．设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 11．设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案. 【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 12．（多选题）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ABD 【解析】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误； ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确. 故选ABD. 13．（多选题）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【解析】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选AD. 14．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的有关概念进行判定即可. 【详解】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确； B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确； C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确； D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确. 故选：ABC. 15．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确； 对于B，所有的单位向量的模相等，B正确； 对于C，任一非零向量都可以平行移动，C正确； 对于D，向量的模有大小，而向量无大小，D错误. 故选ABC 16．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 【答案】③⑤⑥⑧⑩ 【解析】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度. 故答案为：③⑤⑥⑧⑩. 17．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心.（1）与相等的向量有______________；（2）与相等的向量有__________；（3）与共线的向量有__________. 【答案】 ，， 【分析】利用相等向量和共线向量的定义解答即可. 【详解】（1）与相等的向量有，，； （2）与相等的向量有； （3）与共线的向量有. 故答案为：，，；；. 18．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与，与 与，与 【解析】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，显然，因此的模相等. 故答案为：与，与；与，与； 19．有下列命题： ①单位向量一定相等； ②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 【答案】 【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误； 对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确； 对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确； 对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确； 对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误； 则正确的命题个数为个.故答案为：. 20．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【解析】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $