微专题02 平行线的性质与判定的综合（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题02 平行线的判定与性质的综合 题型一 平行线判定的条件的判断 综合图形特征和已知条件，看添加什么条件最好，就添加什么条件.有时答案是不唯一的. 1.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定以及补角，将选项作为条件代入，证明与互补即可得到答案． 【详解】当时 直线和直线平行 与互补 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判断直线，故此选项符合题意； B、根据同位角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； D、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意． 故选：A． 3．如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项符合题意； C、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； D、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为与，不是同位角，也不是内错角，故不能判断两直线平行，故符合题意； 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行）；故不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； B、， 不能判断，故B符合题意， C、， 平分 ，故C不符合题意； D、， ，故D不符合题意； 故选：B． 题型二 平行线判定的证明 1. 由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角. 2.选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可． 1．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 【答案】见解析 【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论． 【详解】证明：FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD（等量代换）， ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 2．如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：BE∥DF． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】证明：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°， ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠4， ∴BE∥DF，理由是：同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 3．如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 【答案】见解析 【分析】欲证明BC∥AD，只要证明∠1＝∠3即可． 【详解】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BC∥AD． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 【答案】见解析 【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF， ∴∠2BEF，∠3DEF， ∵∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CE； （2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C， ∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°， ∴AB∥CD． 【点睛】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答． 题型三 利用平行线性质求角度数 两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数. 1．如图，直线，，，交直线于点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据垂直和直角三角形的性质得出的度数，根据平行得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，即可解题． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 题型四 借助三角板求角度数 借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题. 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 所以的度数是， 故选： C． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，，，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：如图，标记各点和角度， 由三角板可知，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2024秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为 　 　度． 【答案】15 【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数． 【详解】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°， ∵FD∥BC， ∴∠BDF＝∠ABC＝60°， ∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 5．（2024秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝　 　． 【答案】52° 【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：由已知可得，∠3＝30°， ∵∠2＝98°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°， ∵m∥n， ∴∠1＝∠4＝52°． 故答案为：52°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质． 题型五 利用平行线性质证明 平行线性质证明的核心是“由平行推角”，必须紧扣“已知两直线平行”这一前提，再通过同位角相等、内错角相等或同旁内角互补推出角度关系，最终得出线段相等、角相等或新平行关系的证明. 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，，直线与线段及的延长线分别交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据内错角相等两直线平行可得，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可求证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 2．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB． 【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案． 【详解】解：过E作EF∥AD，交CD于F， 则∠ADE＝∠DEF， ∵DE平分∠ADC， ∴∠1＝∠ADE， ∴∠1＝∠DEF， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DEF+∠FEC＝90°， ∴∠2＝∠FEC， ∵CE平分∠DCB， ∴∠2＝∠BCE， ∴∠FEC＝∠BCE， ∴BC∥EF， ∴BC∥AD， ∵DA⊥AB， ∴BC⊥AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键． 3．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，已知，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角的等量代换． （1）通过平行线的性质得到，再由已知条件，根据“等式的性质”得到，结合和通过等量代换即可证得结论； （2）通过平行线的性质得到，再由已知条件，通过等量代换得到，由，结合，通过等量代换得到，进而利用内错角相等判定出平行线结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，点D、E分别在的边上，，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识点，熟知平行线的性质与判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明，再根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由平角的定义可得，然后求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ． （2）解：平分， ， ， ，， ， ． 5．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE∠BAD，∠FCG∠DCE，进而得出：∠CGF∠BAD，∠FCG∠B，可推出：∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论． 【详解】证明：∵AD∥BE， ∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴∠CGF＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD， ∴∠CGF∠BAD， ∵CF平分∠DCE， ∴∠FCG∠DCE， ∴∠FCG∠B， ∴∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°， ∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°， ∴CF⊥AE． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理． 题型六 利用平行线解决实际问题 给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质. 1．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，进而得到，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作， 由题意，得：， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由对顶角相等和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明，得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ∴， ∵平分， ， ， ． 题型七 利用平行线解决折叠问题 结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化. 1．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　） A．77° B．64° C．26° D．87° 【答案】A． 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数． 【详解】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEG＝∠BGD'＝26°， ∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°， 由折叠可得，∠α∠DEG154°＝77°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 3．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　　 ． 【答案】55°． 【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠2＝∠5， 由翻折变换的性质可知∠4＝∠5， ∴∠4＝∠2， ∵∠1＝∠2+∠4＝110°， ∴∠2＝∠4＝55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型． 4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠， ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠的性质可得，，再由平行的性质得，再利用平角的性质得，则求得，再根据可得答案． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，四边形为长方形，点、分别为、边上一点，将长方形沿翻折，点、分别落在、处，若，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、折叠，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得出,，根据折叠的性质及对顶角相等可得出，利用代入化简即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ，， , 将长方形沿翻折，，， ， ， ， , ． 故答案为：． 题型八 通过阅读证明过程填写理由 题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求. 1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先由对顶角相等和已知条件证明，进而可证明，再由平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质） ∴（同位角相等，两直线平行） 2．（25-26七年级上·四川眉山·期中）完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵，（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】已知；；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，分别平分和，垂足为．求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ___________． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （已知）， （垂直的定义）， ______（等式的性质）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 先由可得，再由角平分线可得，从而可得，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求得的度数． 【详解】解：（已知）， ． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （ 两直线平行，同旁内角互补 ）， （已知）， （垂直的定义）， 90 °（等式的性质）． 4．（2425七年级下·上海徐汇·月考）如图，已知平分平分，且，说明的理出．    解：平分（已知）， ，（            ）． 同理，又，（已知） ______________， 又（已知）， ______________（                ）， （                    ）． 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 同理，又，（已知） ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为角平分线的定义，1，3，2，3，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 5．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，，，，四点共线，已知，，，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：（已知）， （________）， 即， （已知）， ________（________）， ________（________）， （已知）， （________）， ________（________）， ， 即， 又， ． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；； 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等量代换，角度的和差关系，掌握平行线的判定与性质是解题关键． 先利用得到同旁内角互补，再结合和逐步推导出与，最后通过两组互补角的等式对比，得出． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ， 即， 又， ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；； 同位角相等，两直线平行． 题型九 平行线性质与判定的综合 平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补. 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）由可证，等量代换得，从而可证； （2）由角平分线的定义得，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：平分，， ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，，，是上一点且平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可证明； （2）根据同位角相等两直线平行得，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）如图，直线，与相交，交点分别为E，F，的平分线交于点G． (1)若，求的度数； (2)若的平分线交于点H，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、一元一次方程的应用、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，设，，结合得出关于的一元一次方程，解方程即可； （2）由角平分线的定义可得，，由平角的定义求出，结合题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图1，已知直线，点C为直线，之间（不在直线上）的一个动点，连接，，平分，平分，和交于点F．      (1)证明：， (2)如图2，连接，则在点C的运动过程中，当满足，时： ①若，请直接写出的度数； ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）结合角平分线的性质和平行直线的性质即可证得； （2）①根据角平分线的性质和平行直线的性质，可先后求出、、和的值，即可求得；②设，通过角平分线的性质可得到，利用两直线平行，同旁内角互补可以推算出，求出，最后利用两直线平行，同旁内角互补建立等式，即可求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴, ∴, ∴； ②设，则， ∵， ∴， ∵的平分线交直线于点E， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线和平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等． 6．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得． (1)请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号） ①；② (2)你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题： ①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． ②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________． 【答案】(1)选择结论①，证明见解析或选择结论②，证明见解析 (2)①；② 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）选择结论①：根据平行线的判定可得，从而得到，即可；选择结论②：根据平行线的判定可得，从而得到，即可； （2）①由（1）得：，，可得，然后结合角平分线的定义可得，即可求解；②设，则，可得，，由（1）得：，，，从而得到，然后结合角平分线的定义可得，可列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：选择结论①： ∵，， ∴， ∴， ∴； 选择结论②： ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得：，， ∵， ∴， ∵点M是和平分线的交点， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∵比大，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 即． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 平行线的判定与性质的综合 题型一 平行线判定的条件的判断 综合图形特征和已知条件，看添加什么条件最好，就添加什么条件.有时答案是不唯一的. 1.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，要使得与互补，可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ） A． B． C． D． 题型二 平行线判定的证明 1. 由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角. 2.选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可． 1．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 2．如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：BE∥DF． 3．如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 4．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 5．如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 题型三 利用平行线性质求角度数 两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数. 1．如图，直线，，，交直线于点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，平分，且．如果，那么 ． 5．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么 ． 题型四 借助三角板求角度数 借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题. 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是 ． 4．（2024秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为 　 　度． 5．（2024秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝　 　． 题型五 利用平行线性质证明 平行线性质证明的核心是“由平行推角”，必须紧扣“已知两直线平行”这一前提，再通过同位角相等、内错角相等或同旁内角互补推出角度关系，最终得出线段相等、角相等或新平行关系的证明. 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，，直线与线段及的延长线分别交于点，求证：． 2．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB． 3．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，已知，，，试说明： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，点D、E分别在的边上，，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 5．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 题型六 利用平行线解决实际问题 给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质. 1．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 题型七 利用平行线解决折叠问题 结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化. 1．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　） A．77° B．64° C．26° D．87° 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 3．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　　 ． 4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠， ． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，四边形为长方形，点、分别为、边上一点，将长方形沿翻折，点、分别落在、处，若，则 ．（用含的代数式表示） 题型八 通过阅读证明过程填写理由 题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求. 1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　 　） 2．（25-26七年级上·四川眉山·期中）完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵，（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，分别平分和，垂足为．求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ___________． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________________）， （已知）， （垂直的定义）， ______（等式的性质）． 4．（2425七年级下·上海徐汇·月考）如图，已知平分平分，且，说明的理出．    解：平分（已知）， ，（            ）． 同理，又，（已知） ______________， 又（已知）， ______________（                 ）， （                     ）． 5．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，，，，四点共线，已知，，，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：（已知）， （________）， 即， （已知）， ________（______ __）， ________（________）， （已知）， （________）， ________（________）， ， 即， 又， ． 题型九 平行线性质与判定的综合 平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补. 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 2．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，，，是上一点且平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）如图，直线，与相交，交点分别为E，F，的平分线交于点G． (1)若，求的度数； (2)若的平分线交于点H，，求证． 4．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 5．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图1，已知直线，点C为直线，之间（不在直线上）的一个动点，连接，，平分，平分，和交于点F．      (1)证明：， (2)如图2，连接，则在点C的运动过程中，当满足，时： ①若，请直接写出的度数； ②若，求的度数． 6．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得． (1)请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号） ①；② (2)你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题： ①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． ②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $