第六章 计数原理（单元自测卷）高二数学人教A版

第六章 计数原理单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（    ） A．41 B．61 C．62 D．82 2．（24-25高二下·河北石家庄·期中）书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取1本，则不同的取法种数为（    ） A．7 B．12 C．21 D．42 3．（24-25高二下·吉林·月考）将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若，则（    ） A．8 B． C．2 D．42 5．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．70 B． C．252 D． 7．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·安徽安庆·期中）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N处为止，则下列说法错误的是（    ） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人相遇的概率为 C．甲乙两人在处相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有20种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（24-25高二下·福建三明·月考）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（    ） A． B．各项系数之和为 C．只有第4项的二项式系数最大 D．第二项的系数为 10．（24-25高二下·陕西宝鸡·月考）关于，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（    ） A．若不选择生物、政治，选法总数为8种 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．（24-25高二下·天津西青·月考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为 . 13．（24-25高二下·云南临沧·月考）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有 种不同的书写方案． 14．（24-25高二下·贵州遵义·月考）如图是我国古代著名数学家杨辉在《解析九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高二下·山东青岛·月考）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 16．（15分）（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知，求： (1) (2) (3) 17．（15分）（24-25高二下·广东中山·月考）求值、解方程或解不等式 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 18．（17分）（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 19．（17分）（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（    ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解析】， ，, 因此.故选：B. 2．（24-25高二下·河北石家庄·期中）书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取1本，则不同的取法种数为（    ） A．7 B．12 C．21 D．42 【答案】A 【解析】由题可知不同的取法的种数为．故选：A． 3．（24-25高二下·吉林·月考）将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】第一列第一个数有3种选择，第二个数有2种选择，第三个数有1种选择； 第一行第二个数有2种选择，其它空格只有1种选择； 所以共有种.故选：A 4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若，则（    ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以.故选：B 5．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【解析】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：B． 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．70 B． C．252 D． 【答案】D 【解析】， 因为中含的项为， 所以的展开式中的常数项为.故选：D． 7．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法．故选：D． 8．（24-25高二下·安徽安庆·期中）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N处为止，则下列说法错误的是（    ） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人相遇的概率为 C．甲乙两人在处相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有20种 【答案】B 【解析】对于甲，经过到达N有1种，经过到达N有种， 经过到达N有种，经过到达N有1种，甲从M到达N处的方法共有20种， 同理对于乙，经过到达N分别有种． 对于A，甲从M必须经过到达N处的方法有9种，A正确； 对于B，甲乙两人相遇的概率，B错误； 对于C，甲乙两人在处相遇的概率，C正确； 对于D，甲从M到达N处的方法共有20种，D正确．故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（24-25高二下·福建三明·月考）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（    ） A． B．各项系数之和为 C．只有第4项的二项式系数最大 D．第二项的系数为 【答案】ABD 【解析】对于，A，因为的展开式中，各项的二项式系数之和为128， 所以，解得，故A正确； 对于B，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，因为，所以第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误； 对于D，第二项为， 则第二项的系数为，故D正确.故选：ABD. 10．（24-25高二下·陕西宝鸡·月考）关于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，令，得，A正确； 对于B，令，得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，令，得， 因此，D正确.故选：AD 11．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（    ） A．若不选择生物、政治，选法总数为8种 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种 【答案】BCD 【解析】对于A选项：已知不选择生物、政治，则从剩余的4门课程中选择三门作为选修科目， 可得选法总数为种，故A不正确； 对于B选项：采用间接法，六门课程中选三门，选法总数为种， 若物理和化学均不选，选法总数为种， 若物理和化学至少选一门，选法总数为种，故B正确； 对于C选项：采用间接法，若物理和历史同时选，选法总数为种， 若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D选项：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均不选， 结合选项B、C可知：选法总数为种，故D正确；故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．（24-25高二下·天津西青·月考）在的二项展开式中，第3､4项的二项式系数最大，则含项的系数为 . 【答案】 【解析】由题意可知，展开式共项，则， 则通项为， 令，得，则， 故含项的系数为. 13．（24-25高二下·云南临沧·月考）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有 种不同的书写方案． 【答案】 【解析】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 14．（24-25高二下·贵州遵义·月考）如图是我国古代著名数学家杨辉在《解析九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】559 【解析】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字，…， 第十五行的第三位数字是， 则所求为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高二下·山东青岛·月考）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】(1)900；(2)648；(3)379 【解析】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 16．（15分）（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知，求： (1) (2) (3) 【答案】(1)1094；(2)2187；(3)－7 【解析】（1）令可得； 令可得， 两式相加可得. （2）令可得. （3）对两边同时求导后可得， 令可得. 17．（15分）（24-25高二下·广东中山·月考）求值、解方程或解不等式 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 【答案】(1)1；(2)165；(3)；(4)或；(5) 【解析】（1）； （2）因为， 所以； （3）由，得， 化简得，解得， 经检验是原方程的解，∴原方程的解是； （4），则或解得：或，经检验均符合， 故或； （5）由，可得， 所以，整理得，解得， 又因为，所以. 18．（17分）（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)11；(2)，；(3). 【解析】（1）的展开式的通项． 由题意，解得，，，故的值是11． （2）由二项式系数的性质知， 的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项，其值分别为： ， ． （3）的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大，且. 19．（17分）（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)种；(2)种；(3)种 【解析】（1）若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． （2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． （3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理单元自测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A B B D D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD AD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14．559 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解析】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个.（4分） （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个．（8分） （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）.（13分） 16．【解析】（1）令可得； 令可得， 两式相加可得.（5分） （2）令可得.（8分） （3）对 两边同时求导后可得， 令可得.（15分） 17．【解析】（1）；（3分） （2）因为， 所以；（6分） （3）由，得， 化简得，解得， 经检验是原方程的解，∴原方程的解是；（9分） （4），则或解得：或，经检验均符合， 故或；（12分） （5）由，可得， 所以，整理得，解得， 又因为，所以.（15分） 18．【解析】（1）的展开式的通项． 由题意，解得，，，故的值是11．（5分） （2）由二项式系数的性质知， 的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项，其值分别为： ， ．（10分） （3）的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大，且.（17分） 19．【解析】（1）若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法．（5分） （2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况．（10分） （3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法.（17分） 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名， 共有种不同的排法．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $