第十章 重点突破6 概率与其他知识的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦概率与函数方程、概率与统计的综合应用，从集合与方程解的概率问题切入，逐步过渡到频率分布直方图、分层抽样及独立事件概率计算，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过“冰糖葫芦山楂数量”“学生阅读时间调查”等实例，引导学生用数学眼光发现现实问题中的数量关系，通过方程解分类讨论、样本点列举培养逻辑推理的数学思维，借助图表与数据提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统授课，课后对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

题型一　概率与函数方程的综合问题 (1)已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是(　　) A. B. C. D.1 (2)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如下表所示). 　　b a　　 1 2 3 1 (1，1) (1，2) (1，3) 2 (2，1) (2，2) (2，3) 3 (3，1) (3，2) (3，3) 因为A∩B＝B，且B至多有两个元素，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.当B＝⌀时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为.故选C. (2)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，(a，b)的所有样本点为(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12个，其中log28＝3，log39＝2为整数，所以logab为整数的概率为. 　　对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 对点练1.有一道关于“冰糖葫芦”的题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的冰糖葫芦，冰糖葫芦有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子.若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个冰糖葫芦，则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 答案：B 解析：设5个山楂的冰糖葫芦有x个，2个山楂、3个小桔子的冰糖葫芦有y个，则故样本点总数为80＋120＝200，“冰糖葫芦是5个山楂”包含的样本点个数为80，则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为＝0.4.故选B. 题型二　概率与统计的综合问题 角度1　古典概型与统计的综合问题 某高校为了制定“培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力”的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：时)并绘制了如图所示的频率分布直方图. 学生用书⬇第183页 (1)求这200名学生每周阅读时间的中位数a(精确到0.01)； (2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在[6.5，7.5)，[7.5，8.5)内的学生中抽取6名参加座谈会. ①你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由； ②从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在[7.5，8.5)内的概率. 解：(1)因为0.03＋0.1＋0.2＝0.33＜0.5，0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，所以中位数a∈[8.5，9.5)，由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，解得a≈8.99. (2)①应从每周阅读时间在[6.5，7.5)内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在[7.5，8.5)内的学生中抽取4名. 理由：每周阅读时间在[6.5，7.5)内与每周阅读时间在[7.5，8.5)内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本， 因为两者频率分别为0.1，0.2，所以应按照1∶2的比例进行名额分配. ②设从每周阅读时间在[6.5，7.5)内的学生中抽取的2人为A1，A2，从每周阅读时间在[7.5，8.5)内的学生中抽取的4人为B1，B2，B3，B4，从这6人中随机抽取2人的所有样本点有15个，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4). 设“至多有1人每周阅读时间在[7.5，8.5)内”为事件A，则A中有9个样本点，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4).所以至多有一人每周阅读时间在[7.5，8.5)内的概率为P(A)＝＝. 角度2　相互独立事件的概率与统计的综合问题 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明) 解：(1)记“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B， 由于所有学生对活动方案是否支持相互独立，则由表中数据可知抽取的男生总人数为200＋400＝600，支持方案一的有200人，则估计该校男生支持方案一的概率P＝. 抽取的女生总人数为300＋100＝400，支持方案一的有300人，故估计该校女生支持方案一的概率P＝. (2)记“从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，则事件C包含“一名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持”和“两名男生支持，一名女生不支持”，由(1)可知P＝2×××＋××＝. (3)p0＞p1.理由如下： p0＝＝，设该校总人数为a，则该校支持方案二的人数约为a， 由表可知，男生支持方案二的概率为P男＝＝， 女生支持方案二的概率为P女＝＝， 所以一年级支持方案二的人数约为500×＋300×≈404， 故除一年级外其他年级支持方案二的概率为p1≈＝＜＝＝p0. 解决概率与统计综合问题的一般步骤 对点练2.为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，4，3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量. (1)若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重度污染区AQI平均值； (2)如图是2024年6月份30天的AQI的频率分布直方图，6月份仅有1天AQI在[140，150)内. 学生用书⬇第184页 ①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率作为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率； ②环卫部门从6月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天AQI都在[170，200)内的概率. 解：(1)设重度污染区AQI平均值为x，根据题意得119×9＝70×2＋115×4＋3x，解得x＝157. 故重度污染区AQI平均值为157. (2)①AQI在[140，170)内的有×30×30＝8(天)， AQI在[170，200)内的有×30×30＝5(天)， AQI在[200，230]内的有×30×30＝2(天)， 所以6月份AQI不小于150的共8＋5＋2－1＝14(天). 即能参加户外活动的概率为P＝1－＝. ②由①知AQI在[170，200)内的有5天，编号设为a，b，c，d，e，AQI在[200，230]内的有2天，编号设为m，n， 从7天中抽取两天有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，e)，(c，m)，(c，n)，(d，e)，(d，m)，(d，n)，(e，m)，(e，n)，(m，n)，共21种情况. 满足条件的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种情况， 所以满足条件的概率为P＝. 对点练3.现行国家标准GB2762－2022中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0 mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2 000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值(mg/kg)，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数； (2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标； (3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲、乙购买哪条鱼互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量超标的概率. 解：(1)由0.4×(0.35＋a＋0.8＋a＋0.25＋0.1)＝1，解得a＝0.5.则这200条鱼汞含量的样本平均数为0.4×(0.2×0.35＋0.6×0.5＋1.0×0.8＋1.4×0.5＋1.8×0.25＋2.2×0.1)＝1.016 mg/kg. (2)样本中汞含量在[1.0，2.4] mg/kg内的频率为1－0.4×(0.35＋0.5)－0.2×0.8＝0.5， 则估计进口的这批鱼中共有0.5×2 000＝1 000条鱼汞含量超标. (3)由题意可知，样本中鱼体汞含量在[1.0，2.4]内的频率为， 则顾客甲购买的鱼中存在汞含量超标的鱼的概率为1－×＝，顾客乙购买的鱼汞含量超标的概率为.则恰有一人购买的鱼汞含量超标的概率为×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $