第八章 重点突破4 与球有关的“切”“接”问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学几何体的外接球与内切球问题，系统梳理柱体、锥体、台体及可补成规则几何体的外接球求解策略，结合内切球典型题型，通过例题解析与对点练构建递进式学习支架，帮助学生掌握球心确定及“切”“接”问题解法。 特色在于分类突破与素养融合，按几何体类型细化题型，用轴截面转化空间问题培养直观想象，通过多解法例题提升数学运算能力，课中辅助教师分层教学，课后通过对点练与综合题帮助学生查漏补缺，强化逻辑推理与知识应用。

学习目标 1.能根据几何体的结构特征确定其外接球、内切球的球心. 2.会解决简单的与球有关的“切”“接”问题，培养直观想象和数学运算的核心素养. 题型一　几何体的外接球 角度1　柱体的外接球 (1)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为(　　) A. B. C. D. (2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)法一：如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1.易得外接球半径R＝OB＝＝，所以外接球体积V＝π()3＝π.故选B. 法二：由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，所以2R＝＝2，R＝，所以外接球体积V＝π()3＝π.故选B. (2)设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，所以外接球的直径2R＝＝2，所以R＝1，所以V球＝. 柱体外接球问题的求解策略 1.正方体、长方体的外接球：(1)正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；(2)长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. 2.求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解. 3.求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可. 学生用书⬇第91页 角度2　锥体的外接球 (1)已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　　　　. (2)若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球的体积为　　　　. 答案：(1)3π　(2) 解析：(1)设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝(PO1－R)2＋r2，即R2＝(2r－R)2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. (2)法一：如图所示，设正四棱锥的底面中心为O1，所以SO1垂直于底面ABCD.令外接球球心为O，所以△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2.所以△ASC是以AC为斜边的直角三角形，所以＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径，故V球＝. 法二：设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S-ABCD的外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆的半径r＝1.又AS＝，AO1＝r＝1，所以SO1＝＝＝1，所以R2＝(SO1－R)2＋r2，解得R＝1，故V球＝. 锥体外接球问题的求解策略 1.求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解. 2.求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可. 3.求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半径的方法求解即可. 对点练1.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为　　　　. 答案：4π 解析：依题意，作球的轴截面如图所示，其中O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知πR3＝36π，解得R＝3.由于圆柱的高为2，则OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝＝2，母线EC＝＝2.故圆锥的侧面积为S＝π·DC·EC＝π×2×2＝4π. 角度3　台体的外接球 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π 答案：A 解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 台体外接球问题的求解策略 1.圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径. 2.求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的方法求解. 对点练2.一个圆台的轴截面的面积为6，上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的外接球的体积为　　　　. 答案：π 解析：设圆台的高为h，由轴截面的面积为6，得＝6，解得h＝2，设该圆台外接球的半径为R，由题意得＋＝2，解得R＝，所以该圆台的外接球的体积为πR3＝π×＝π. 角度4　可补成规则几何体的外接球 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　　　　. 答案：16π 解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图③所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示. 对点练3.在三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，设BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为(　　) A. B.3π C. D.5π 答案：C 解析：如图所示，将三棱锥P-BCD放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P-BCD的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径PD＝＝＝3，所以该球的体积为π×＝.故选C. 学生用书⬇第92页 题型二　几何体的内切球 (1)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为(　　) A. B. C. D.π (2)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为(　　) A. B. C. D.9π 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝，即该圆锥内半径最大的球的体积为.故选B. (2)设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝××3×4×4＝××r，解得r＝，所以球O的体积V＝πr3＝，故选C. 常见几何体内切球的求解策略 1.正方体的内切球：正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设正方体的边长为a，其内切球半径为R＝. 2.圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝. 对点练4.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是(　　) A.96 B.16 C.24 D.48 答案：D 解析：由球的体积为，得πr3＝，解得r＝2.又球与正三棱柱内切，故h＝2r＝4，设正三棱柱的底面边长为a.如图所示，得r2＋＝(2r)2，解得a＝4，所以正三棱柱的底面积S＝a2＝12，所以该正三棱柱的体积V＝S·h＝48.故选D. 对点练5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　) A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R＋r)2 答案：C 解析：如图所示，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R.又OE⊥AB且BO⊥OA，所以△AEO∽△OEB，所以OE2＝AE·BE＝Rr，所以球的表面积为4πOE2＝4πRr.故选C. 1.甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为(　　) A.1∶2∶3 B.1∶∶ C.1∶∶ D.1∶2∶3 答案：A 解析：设正方体的棱长为a. 显然，对于正方体的内切球，如图①所示，取其中截面，则球的直径等于正方体的棱长，即2R甲＝a，所以R甲＝. 对于正方体的棱切球，如图②所示，取其中截面，则球的直径等于正方体的面对角线，即2R乙＝a，所以R乙＝. 对于正方体的外接球，如图③所示，取其对角面，则球的直径等于正方体的体对角线，即2R丙＝a，所以R丙＝.所以甲、乙、丙三球的半径的平方之比为1∶2∶3.故选A. 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为(　　) A.72π B.114π C.136π D.144π 答案：C 解析：将该直三棱柱补成长方体，该长方体的长、宽、高分别为6，8，6，该直三棱柱的外接球也是长方体的外接球，所以外接球半径R＝＝，则该直三棱柱外接球的表面积为4πR2＝136π.故选C. 3.圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为(　　) A. B. C.16π D.12π 答案：A 解析：设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，则球O的体积为πR3＝.故选A. 4.已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为　　　　. 答案：π 解析：由题可知，母线PA＝PB＝2，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示，O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，设球O的半径为R，底面圆E的半径为r.因为圆锥侧面积为2π，所以·PB＝2π，解得r＝1＝EB.由勾股定理得PE2＝PB2－EB2＝4－1＝3，所以PE＝.又因为△POM∽△PBE，所以＝，即＝，解得R＝，所以球的体积V＝πR3＝π×＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $