10.1.4 概率的基本性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦概率的基本性质这一核心知识点，通过摸球实例引入，从具体问题抽象出非负性、必然与不可能事件概率、互斥及对立事件公式等性质，再通过任务应用公式，构建从具体到抽象、理解到应用的学习支架。 资料以实例驱动和问题链设计为特色，从摸球、考试成绩等情境引导学生抽象概率性质，培养数学抽象与运算素养。包含例题解析、对点练等环节，课中辅助教师引导学生深入，课后帮助学生巩固练习，提升解决实际问题能力。

10.1.4　概率的基本性质 学习目标 1.通过实例，理解概率的基本性质. 2.掌握并利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题，培养数学抽象、数学运算的核心素养. 任务一　概率的基本性质 (阅读教材P241—243，完成问题1、2) 　　一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 问题1.事件R＝“两次都摸到红球”与事件G＝“两次都摸到绿球”，R∪G＝“两次摸到的球颜色相同”，试比较P(R)，P(G)与P(R∪G)之间的关系？ 提示：P(R∪G)＝P(R)＋P(G). 问题2.R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，“两个球中有红球”＝R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)＋P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2)？ 提示：P(R1∪R2)≠P(R1)＋P(R2)，事件R1和R2不互斥.因为n(Ω)＝12，n(R1)＝n(R2)＝6，n(R1∪R2)＝10，所以P(R1)＋P(R2)＝＋＝1，P(R1∪R2)＝，而P(R1∩R2)＝，因此P(R1∪R2)＝P(R1)＋P(R2)－P(R1∩R2). 学生用书⬇第173页 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(⌀)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). (1)下列说法正确的是(　　) A.若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 C.若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1 D.若A⊆B，则P(A)＜P(B) (2)抛掷一枚质地均匀的六面骰子，记事件A＝“向上的点数为1或4”，事件B＝“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是(　　) A.A与B互斥 B.A与B对立 C.P(A＋B)＝ D.P(A＋B)＝ 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)对于A，当A，B为互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故A错误；对于B，当事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故B错误；对于C，当A，B为互斥事件时，P(A)＋P(B)＝P(A∪B)≤1，故C正确；对于D，由概率的性质可知，若A⊆B，则P(A)≤P(B)，故D错误.故选C. (2)当向上的点数为1时，A，B同时发生，则A与B不互斥，也不对立.因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＝.故选C. 关于概率性质的直接应用 1.明确各个事件的概率，若涉及对立事件，则利用性质4求出对立事件的概率. 2.判断事件的关系，选择P(A∪B)＝P(A)＋P(B)、P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)等性质解题. 对点练1.(多选)若事件A，B为互斥事件，且P(A)＞0，P(B)＞0，则以下结论正确的是(　　) A.P(AB)＝0 B.P(B)＝[1－P(A)]P(B) C.P(＋)＝1 D.P(A＋)＝P(A)＋P() 答案：AC 解析：对于A，因为事件A，B为互斥事件，所以A∩B＝⌀，所以P(AB)＝0；对于B，因为事件A，B为互斥事件，所以B⊆，所以P(B)＝P(B)；对于C，P(＋)＝1－P(AB)＝1－0＝1；对于D，由A，B互斥知P(A )≠0，即事件A，不互斥，所以P(A＋)＝P(A)＋P()－P(A ).故选AC. 任务二　互斥事件概率公式的应用 在数学考试(满分100分)中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩； (2)小明考试及格(60分及60分以上为及格). 解：分别记小明的成绩“在90分及90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，显然这五个事件两两互斥. (1)小明的成绩在80分及80分以上的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)小明考试及格的概率为P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 　　运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果. 对点练2.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表： 年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率： (1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18]. 解：记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. (1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ＝0.1＋0.28＝0.38. (3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E) ＝0.16＋0.08＝0.24. 学生用书⬇第174页 任务三　对立事件概率公式的应用 (1)据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为　　　　. (2)一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.有放回地随机抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. ①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； ②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率. 答案：(1)0.9 解析：(1)记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知，事件C与事件D互为对立事件，且P(C)＝0.1，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9. (2)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，共27个样本点. ①记“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包含的样本点有(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3个，所以P＝＝.故“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. ②记“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括的样本点有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3个，所以P(B)＝1－P()＝1－＝.故“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. 　　当直接计算符合条件的事件的概率比较麻烦时，可先计算出其对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P()＝1求出符合条件的事件的概率. 对点练3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，已知P＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　) A.0.7 B.0.2 C.0.1 D.0.3 答案：D 解析：因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，所以抽到的不是一等品的概率是1－0.7＝0.3.故选D. 对点练4.盒子里装有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. (1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； (2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 解：试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点. (1)事件“取到的2个球中恰好有1个黑球”包含的样本点为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，共12个，故所求的概率为. (2)事件“取到的2个球中至少有1个是红球”的对立事件为“没有一个红球”，即“全是黑球”.事件“全是黑球”包含的样本点为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个，故所求的概率为1－＝. 任务四　概率性质的综合应用 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求： (1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件， 根据已知得 解得 所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，. (2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的情况有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况， 而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以两个球颜色相同的概率为＝， 则得到的两个球颜色不相同的概率是1－＝. 　　求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. 学生用书⬇第175页 对点练5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率. 解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P，则 P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8， 所以他不乘轮船去的概率为0.8. 任务再现 (1)概率的基本性质.(2)互斥事件概率公式的应用.(3)对立事件概率公式的应用 方法提炼 转化法、正难则反 易错警示 将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏 1.某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级产品为次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到合格品的概率为(　　) A.0.09 B.0.97 C.0.99 D.0.96 答案：C 解析：因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到合格品的概率为1－0.01＝0.99.故选C. 2.某城市2025年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P 当污染指数T≤50时，空气质量为优；当50＜T≤100时，空气质量为良；当100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2025年空气质量达到良或优的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的概率加法公式知，空气质量为良的概率为＋＝，所以该城市2025年空气质量达到良或优的概率P＝＋＝，故选A. 3.已知事件A和事件B互斥，且P(A∪B)＝0.5，P(B)＝0.3，则P()＝　　　　. 答案：0.8 解析：由题意得，P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.2，则P()＝1－P(A)＝0.8. 4.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为　　　　. 答案：0.7 解析：设“摸出红球”为事件A，“摸出黄球”为事件B，“摸出白球”为事件C，所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1，所以P(B)＋P(C)＝0.7. 学科网（北京）股份有限公司 $