8.1第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，从实物模型观察切入，通过矩形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥等问题引导形成概念，结合例题与练习掌握旋转体计算，构建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以实物观察和旋转过程培养直观想象，通过微思考辨析（如圆锥旋转轴判断）发展逻辑推理，例题结合螺母等实例提升数学运算。课中助力教师引导探究，课后任务再现与易错警示帮助学生查漏补缺。

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 学习目标 1.通过对实物模型的观察，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，培养直观想象的核心素养. 2.理解圆柱、圆锥、圆台之间的关系. 3.能运用圆柱、圆锥、圆台的结构特征描述现实生活中简单组合体的结构并进行有关计算，培养数学运算的核心素养. 任务一　圆柱、圆锥、圆台 (阅读教材P101—102，完成问题1、2、3) 问题1.如图，矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周，其余三边BC，CD，DA旋转各形成什么图形？共同围成什么空间几何体？ 提示：边BC，DA旋转各形成一个圆面，边CD旋转形成一个曲面；它们共同围成一个圆柱. 问题2.如图，直角三角形ABC绕其一条直角边AC所在直线旋转一周，其余两边BC，AB旋转各形成什么图形？共同围成什么空间几何体？ 提示：边BC旋转形成一个圆面，边AB旋转形成一个曲面；它们共同围成一个圆锥. 问题3.如图，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是什么几何体？此几何体是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？ 提示：圆台；可以；此几何体可以由直角梯形绕其垂直于底的腰旋转，其他的边形成的几何体就是圆台. 1.圆柱的概念及结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O'O 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 2.圆锥的概念及结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 学生用书⬇第78页 3.圆台的概念及结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O'O 相关概念： 圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 [微思考] 1.圆柱的母线有多少条？有什么特征？ 提示：圆柱的母线有无数条，它们互相平行且长度相等. 2.用任意一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台吗？ 提示：不是. 3.以Rt△ABC任意一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？ 提示：不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥的组合体. 下列说法，正确的是(　　) ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 答案：D 解析：由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.故选D. 1.判断旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成. (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.旋转体的轴截面 (1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面图形中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 对点练1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.夹在圆台的两个平行于底面的截面间的几何体还是圆台 B.圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C.圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D.位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 答案：AB 解析：根据圆台的定义知，夹在圆台的两个平行于底面的截面间的几何体还是圆台，故A正确；根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，故B正确；圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，故C错误；棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，故D错误.故选AB. 任务二　球的结构特征 (阅读教材P102—103，完成问题4) 问题4.如图，把半圆绕其直径所在的直线旋转一周，半圆弧旋转形成什么图形？如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周，圆弧旋转形成什么图形？它们各自围成什么空间几何体？ 提示：半圆弧旋转形成一个球面；圆弧旋转形成的也是一个球面；它们围成的空间几何体都是球. 学生用书⬇第79页 球的概念及结构特征 球 图形及表示 定 义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O 相 关 概 念 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段 [微思考]　球能否由圆旋转而成？ 提示：不能.球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分. (多选)下列关于球体的说法正确的是(　　) A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D.球的对称轴只有1条 答案：BC 解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，故A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，故D错误.故选BC. 　　理解好球的概念和结构特征，并且用平面去截球得到的截面都是圆面. 对点练2.下列命题中正确的是(　　) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上. A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①④ 答案：C 解析：任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个经过球心的圆，故①错误，②正确，③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误.故选C. 任务三　简单组合体 (阅读教材P103，完成问题5) 问题5.观察下列图形，它们是否为柱体、锥体、台体呢？它们有什么共同特征呢？你能说出它们是由哪些简单几何体组合而成的吗？ 提示：它们不是简单的几何体；(1)(2)是由简单几何体拼接而成的， (3)(4)是由简单几何体截去或挖去一部分而成的；(1)是由圆柱、圆台组合而成，(2)是由球与圆柱组合而成，(3)是由正方体截去一个角(棱锥)构成，(4)是由长方体挖去两个正方体构成. 1.简单组合体的定义 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的构成形式 一种是由简单几何体拼接而成；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. (1)将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是(　　 ) 学生用书⬇第80页 (2)如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是(　　) A.一个六棱柱中挖去一个棱柱 B.一个六棱柱中挖去一个棱锥 C.一个六棱柱中挖去一个圆柱 D.一个六棱柱中挖去一个圆台 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题可得：该几何体的轴截面是关于直线l对称的，并且l的一侧是选项B中的三角形形状.故选B. (2)螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分形似圆柱，选项C表述最接近.故选C. 简单组合体的识别 1.明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数. 2.会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力. 对点练3.如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个棱柱 答案：B 解析：由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球体，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球体中间挖去一个圆柱.故选B. 任务四　旋转体的有关计算 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： (1)圆台的高； (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示). 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm， 所以高AM＝＝3(cm). (2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设还原后圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝20(cm)， 即还原后圆锥的母线长为20 cm. 1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何未知量的方程组求解. 2.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化. 对点练4.(多选)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4 cm，CD＝2AB，则下列说法正确的有(　　) A.该圆台的高为 cm B.该圆台轴截面面积为24 cm2 C.该圆台轴截面面积为12 cm2 D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10 cm 答案：CD 解析：如图①，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝＝2(cm)，则BE＝O1O2＝＝2(cm)，则圆台的高为2 cm，故A错误；圆台的轴截面面积为×(4＋8)×2＝12(cm2)，故B错误，C正确；把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为8 cm，底面半径为4 cm，圆锥侧面展开图的圆心角为θ＝＝π， 设AD的中点为P，连接CP(如图②)，可得∠COP＝，OC＝8 cm，OP＝4＋2＝6(cm)，则CP＝＝10(cm)，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短路程为10 cm，故D正确.故选CD. 任务再现 (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.(4)旋转体的有关计算 方法提炼 分类讨论、转化与化归 易错警示 同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的 学生用书⬇第81页 1.可以组成如图的组合体的是(　　) A.两个棱柱 B.棱柱和圆柱 C.圆柱和棱台 D.圆锥和棱柱 答案：B 解析：由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成.故选B. 2.下列说法中正确的是(　　) A.将正方形旋转不可能形成圆柱 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案：C 解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，故A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，故B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故D错误.故选C. 3.关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法： ①由一个长方体挖去一个四棱柱构成； ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成； ③由一个长方体挖去一个四棱台构成； ④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中正确说法的序号是　　　　. 答案：①② 解析：该组合体可以看作是由一个长方体挖去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的. 4.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，则这个球的半径长为　　　　. 答案：3 解析：如图所示，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则π＝5π，π＝8π，所以＝5，＝8，又因为R2＝＋＝＋，所以－＝8－5＝3，即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，又d1－d2＝1，所以d1＋d2＝3，d1－d2＝1，解得所以R＝＝＝3，即球的半径等于3. 学科网（北京）股份有限公司 $