6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养数学建模的核心素养. 任务一　测量距离问题 (链接教材P49例9)为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型，若AC＝40米，BC＝80米，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，∠MCN＝120°，则塔尖M，N之间的距离为(　　) A.80米 B.120米 C.80米 D.80米 答案：D 解析：MC＝＝80米，NC＝＝160米，在△MCN中，由余弦定理得MN＝＝80米，则塔尖M，N之间的距离为80米.故选D. 测量距离问题的基本类型及方案 类 型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图 形 方 案 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 对点练1.(1)如图，在高速公路建设中要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且C＝60°，则隧道AB的长度为(　　) A.3 km B.4 km C. km D. km (2)如图，在河岸的一边选定两点A，B，河对岸有一个标记物C，测得A＝30°，B＝75°，AB＝120 m，则B，C两点间的距离为　　　　m. 答案：(1)C　(2)60－1) 解析：(1)由余弦定理可得 AB＝＝ ＝(km).故选C. (2)由题意知C＝180°－A－B＝75°，sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝60－1)(m). 任务二　测量高度问题 (链接教材P50例10)如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100米，在点C测得塔顶A的仰角为60°.则塔高AB＝　　　　米. 答案：150(－) 解析：在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100，则∠CBD＝75°，sin 75°＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝.由正弦定理得＝，BC＝＝＝50(3－)米.依题意，AB⊥BC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，由tan ∠ACB＝得AB＝50(3－)tan 60°＝50(3－)×＝150(－)，所以塔高AB是150(－)米. 测量高度问题的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 学生用书⬇第49页 底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 对点练2.如图，为测量自由式滑雪大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C处的仰角分别为45°，30°，AB＝60 m，且∠AOB＝30°，则大跳台最高处C点的高度OC是多少？ 解：在△BOC中，OB＝＝OC.在△AOC中，OA＝＝OC.在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos ∠AOB，即3 600＝3OC2＋OC2－2OC·OC·＝OC2，所以OC＝60 m. 任务三　测量角度问题 (链接教材P50例11)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30－30)海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向. 解：(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°. 根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝5 400，则AC＝30. 所以小岛A到小岛 C的距离是30海里. (2)根据正弦定理得＝， 所以＝，解得sin ∠ACB＝. 在△ABC中，因为AB＜AC，所以∠ACB为锐角， 所以∠ACB＝45°，所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°. 由75°－15°＝60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行. 学生用书⬇第50页 画测量角度问题示意图的基本步骤 对点练3.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6， 所以BC＝. 且由正弦定理得＝， 所以sin ∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝45°，所以B点在C点的正东方向上， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠BCD＝＝＝，所以∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 任务再现 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案 方法提炼 数形结合 易错警示 方位角是易错点 1.如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，α＝48°，β＝62°，则A，B两点间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∠ABC＝180°－48°－62°＝70°，由正弦定理得＝则AB＝.故选C. 2.在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为(　　) A.6海里 B.6海里 C.4海里 D.12海里 答案：A 解析：设甲驱逐舰，乙护卫舰，航母所在位置分别为A，B，C(图略)，则∠ACB＝45°＋15°＝60°，∠BAC＝90°－15°＝75°，∠ABC＝180°－60°－75°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝6，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为6海里.故选A. 3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为　　　. 答案：30 m 解析：由题图，可得B＝45°，∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). 4.已知A，B，C三座小岛的位置如图所示，其中B岛在A岛的南偏西60°方向，C岛在B岛的正东方向，A，C两岛相隔4千海里，一货轮由A岛出发沿着AC方向航行了的路程后，到达M岛进行补给后再前往C岛，若M岛到B岛的距离与M岛到A岛的距离相同，则B，C两岛的距离为　　　　千海里. 答案： 解析：依题意得∠ABC＝30°，AC＝4，则AM＝AC＝3，MC＝AC＝1，BM＝AM＝3，记∠BAC＝∠ABM＝θ，则∠BMC＝2θ.在△ABC中，由正弦定理得＝，即BC＝8sin θ.在△BMC中，由余弦定理得BC2＝BM2＋CM2－2BM·CM·cos 2θ＝10－6cos 2θ，故64sin2θ＝10－6cos 2θ，解得sin2θ＝.因为θ∈，所以sin θ＝，所以BC＝8sin θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $