6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 学习目标 1.利用正弦、余弦定理求解三角形的面积. 2.会利用正弦、余弦定理求解平面几何问题，培养数学运算的核心素养. 任务一　有关三角形面积的计算 (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为　　　　. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝. (2)由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B.由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝. 求三角形面积的解题思路 　　在应用三角形面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式. 对点练1.(1)在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝(　　) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin Bcos C，则△ABC的面积为　　　　. 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)由面积公式S△ABC＝acsin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D. (2)依题意sin A＝2sin Bcos C，由正弦定理得a＝2bcos C，2＝2×3×cos C，cos C＝＞0，所以0＜C＜，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为absin C＝×2×3×＝2. 任务二　求解平面几何问题 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin ∠BAC＝，求sin ∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC. 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝， 解得sin ∠BCA＝. (2)设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin ∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos ∠BAC＝sin ∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 对点练2.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝. (1)求sin ∠BAD； (2)求的值. 解：(1)在△ADC中，因为cos ∠ADC＝， 所以sin ∠ADC＝， 所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC－B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝. (2)在△ABD中，sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC＝， 由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49， 所以AC＝7，所以＝. 学生用书⬇第47页 任务三　正弦、余弦定理的综合问题 在△ABC中，c＝1，A＝，且△ABC的面积为. (1)求a的值； (2)若D为BC上一点，且　　　　，求sin ∠ADB的值. 从①AD＝1；②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 解：(1)由于c＝1，A＝， S△ABC＝bcsin A＝b·1·sin ＝，解得b＝2； 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，解得a＝. (2)若选①，则当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理＝， 即＝，所以sin B＝，因为AD＝AB， 所以sin∠ADB＝sin B＝； 若选②，则当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理知， cos B＝＝＝， 因为∠DAB＝－＝，所以sin∠ADB＝cos B＝. 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 　　正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键. 对点练3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin 的值. 解：(1)由正弦定理可得＝，即＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即39＝4＋c2－2×2×c×， 解得c＝5或c＝－7(舍去). (3)由正弦定理可得＝，即＝，解得sin C＝， 而A＝120°，所以B，C都为锐角， 因此cos C＝＝，cos B＝＝. 故sin＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－. 任务再现 (1)利用正弦、余弦定理解三角形(含三角形面积).(2)利用正弦、余弦定理解平面几何问题.(3)正弦、余弦定理的综合应用 方法提炼 化归转化、数形结合 易错警示 利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形 1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A. 2.已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对的边长，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则 的值为(　　) A. B.2 C. D. 答案：A 解析：因为A＝60°，b＝1，S△ABC＝，所以＝×1·csin 60°，所以c＝4.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，所以a2＝1＋16－4＝13，a＝，所以由正弦定理得＝＝＝ .故选A. 3.(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是(　　) A. B.1 C. D. 答案：AD 解析：因为AB＝，AC＝1，B＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，所以BC2－3BC＋2＝0，所以BC＝1或BC＝2.当BC＝1时，S△ABC＝·AB·BC·sin B＝××1×＝，当BC＝2时，S△ABC＝·AB·BC·sin B＝××2×＝.综上，S△ABC＝或S△ABC＝.故选AD. 4.(双空题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝　　　　，b＋c＝　　　　. 答案：　7 解析：由已知及正弦定理可得2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，可得2cos Asin (B＋C)＝sin A，即2cos Asin A＝sin A. 又sin A≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝.由面积公式可得3＝bcsin A＝bc，即bc＝12.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $