6.4.3 第2课时 正弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 任务一　正弦定理 (阅读教材P45—46，完成问题1、2) 问题1.在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示：成立.证明如下：(1)如图所示，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j，则j与－A，j与－C.因为＋＝，所以j·(＋)＝j·.由分配律，得j·＋j·＝j·，即｜j｜｜｜cos ＋｜j｜｜｜cos ＝｜j｜｜｜cos ，也即asin C＝csin A，所以＝.同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝.因此＝＝. 　(2)当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与－C，仿照上述方法，同样可得＝＝. 问题2.在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示：观察右图，无论怎么移动B'，都会有角B'＝B，所以在△AB'C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB'C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 1.正弦定理的表示 (1)文字表述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. (2)公式表达：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 2.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)＝＝＝＝2R； (5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 角度1　已知两角及任意一边解三角形 (链接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解此三角形. 解：因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋). 已知两角一边解三角形的步骤 1.根据三角形内角和等于180°求第三角. 2.利用已知边及正弦定理求另外两边. 对点练1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，cos B＝，则b＝(　　) A. B.1 C.2 D.2 答案：B 解析：因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝，由正弦定理＝，即＝，解得b＝1.故选B. 学生用书⬇第44页 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 (链接教材P47例8)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝. 因为b＜a，所以A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. [变式探究] 　(变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形. 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝. 因为b＜a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 1.利用正弦定理求另一边对角的正弦，根据边的大小确定该角是锐角还是钝角，并求出该角，如果不确定，则分两种情况. 2.根据三角形的内角和等于180°求第三个角. 3.利用正弦定理求第三边. [注意]　三角形中“大边对大角，小边对小角”. 对点练2.(一题多解)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，求b的值. 解：法一：由正弦定理，得sin C＝＝×＝. 因为C∈(0，π)，c＞a，所以C＝或C＝. 当C＝时，B＝，所以b＝＝＝2； 当C＝时，A＝B＝，所以b＝a＝1. 综上，b＝2或1. 法二：在△ABC中，因为a＝1，c＝，A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即1＝b2＋3－2b×cos ，可得b2－3b＋2＝0，解得b＝1或2. 任务二　三角形解的个数的判断 (1)(多选)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是(　　) A.a＝1，b＝，B＝45° B.a＝，b＝，A＝30° C.a＝6，b＝20，A＝30° D.a＝5，B＝60°，C＝45° (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝m，b＝4，A＝，若该三角形有两解，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(1)AD　(2)(2，4) 解析：(1)对于A，由正弦定理得sin A＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A，即0°＜A＜45°，所以A＝30°，则三角形有唯一解，故A正确；对于B，由正弦定理得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A，即30°＜B＜150°，所以B＝60°或B＝120°，则三角形有两解，故B错误；对于C，由正弦定理得sin B＝＝＝，无解，故C错误；对于D，当三角形的两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，故D正确.故选AD. (2)要使三角形有两解，只需bsin A＜a＜b，即4sin ＜m＜4，解得2＜m＜4，故实数m的取值范围为(2，4). 判断三角形解的个数的方法 　　在解三角形的过程中会出现两解、一解和无解的情况.在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，边长a为半径画弧，则此弧与除去顶点A的射线AB的公共点个数即为三角形解的个数，具体情况如下表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 (1)a＝bsin A (2)a≥b bsin A＜a＜b a＜bsin A a＞b a≤b 解的情况 一解 两解 无解 一解 无解 学生用书⬇第45页 对点练3.(1)(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，B＝30°，则使此三角形有唯一解的b的取值范围是　　　　. 答案：(1)ABD　(2){b｜b＝3，或b≥6} (1)对于A，因为＝，所以sin B＝＝1，所以B＝90°，即只有一解；对于B，因为sin C＝＝＞，且c＞b，所以C＞B，故有两解；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，所以b＝＝＝，故有一解；对于D，因为＝，所以sin B＝＝＜，又b＜a，所以有一解.故选ABD. (2)由正弦定理得sin A＝＝，此三角形有唯一解时，A只有一个，此时＝1或所以b＝3或b≥6. 任务三　利用正弦定理判断三角形的形状 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC一定为(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)由＝＝⇒a2＝b2.因为a和b都是正数，所以a＝b，故△ABC为等腰三角形，又无法判断三个内角的大小.故选C. (2)由bcos C＋ccos B＝asin A及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，即sin (B＋C)＝sin Asin A，即sin A＝sin2A.因为A∈(0，π)，所以sin A＝1，故A＝，故△ABC为直角三角形.故选B. 判断三角形形状的两条途径 1.化边为角：将三角等式利用正弦定理、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换得到三个内角的关系式，进而确定三角形的形状. 2.化角为边：将三角等式利用正弦定理、余弦定理的推论化角为边，利用代数恒等变换(分解因式、配方等)得到边的关系式，进而确定三角形的形状. [注意]　当等式两边出现公因式时，不要直接约去，应移项、提取公因式，以免漏解. 对点练4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sin2C＝sin Asin B，那么△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰且非等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案：B 解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理的推论得cos C＝＝.又0°＜C＜180°，所以C＝60°.由正弦定理及sin2C＝sin Asin B得c2＝ab，所以a2＋b2－2ab＝0，整理得a＝b，所以△ABC是等边三角形.故选B. 任务再现 (1)正弦定理.(2)正弦定理的变形.(3)利用正弦定理解三角形.(4)三角形解的个数的判断 方法提炼 化归转化、数形结合 易错警示 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论 1.在△ABC中，B＝45°，a＝6，b＝2，则A＝(　　) A.60° B.60°或120° C.120° D.45°或135° 答案：B 解析：由正弦定理＝＝，则sin A＝.因为a＞b，所以A＞B，所以A＝60°或A＝120°.故选B. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝30°，a＝3，b＝4，则满足条件的三角形有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 答案：C 解析：因为A＝30°，a＝3，b＝4，bsin A＝4×＝2，所以bsin A＜a＜b，所以满足条件的三角形有2个.故选C. 3.(多选)在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　) A. B. C. D. 答案：AC 解析：由正弦定理可知C符合题意.设＝＝＝k，则＝＝k，故A符合题意.故选AC. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＝sin2B＋sin2C，B＝45°，则△ABC的形状为　　　　　　　　. 答案：等腰直角三角形 解析：因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以由正弦定理得a2＝b2＋c2，所以A＝90°，B＋C＝90°.因为B＝45°，所以C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $