6.4.2 向量在物理中的应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.4.2　向量在物理中的应用举例 学习目标 　　会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用，培养数学建模的核心素养. 任务一　向量与力 (链接教材P41练习T3)设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，｜F1｜＝1 N，｜F2｜＝2 N，F1和F2的夹角为.求： (1)F3的大小； (2)〈F3，F2〉的大小. 解：(1)因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， 所以｜F3｜＝｜F1＋F2｜＝ ＝ ＝ ＝(N). (2)如图所示，以三个力的作用点O为坐标原点，F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.将向量F1，F3正交分解.设∠MOC＝θ，由受力平衡知将｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，｜F3｜＝ 又因为θ∈，所以θ＝，所以＜F3，F2＞＝π－＝. 　　平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理矢量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则、向量的正交分解等方法转化为代数方程来计算. 对点练1.已知质点O受到三个力F1，F2，F3的作用，若它们的大小分别为20 N，30 N，40 N，且三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向. 解：以O为原点，F1的方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图. 由题意得F1＝(20，0)，F2＝(－15，－15)，F3＝(－20，20)， 所以三个力的合力为F1＋F2＋F3＝(－15，5)， 所以三个力的合力大小为＝10 N， 设合力方向与x轴正方向夹角为θ，所以tan θ＝＝－， 因为合力坐标(－15，5)在第二象限， 所以θ＝150°， 即合力方向与F2方向的夹角为90°，同时与F3方向的夹角为30°. 任务二　向量与速度、加速度、位移 一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动.若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向(即船头方向与正北方向的夹角θ)，以及到达B点所需时间. 解：如图所示，设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船实际航行速度为v，则｜v1｜＝50，｜v2｜＝25，v＝v1＋v2，θ＝〈v，v1〉， 由船需要准确到达正北方向的B点，得v⊥v2， 则v·v2＝(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋＝50×25cos〈v1，v2〉＋252＝0，解得cos〈v1，v2〉＝－， 而0≤〈v1，v2〉≤π， 于是〈v1，v2〉＝，θ＝〈v1，v2〉－＝， ｜v｜＝ ＝ ＝25，＝， 所以船头应调整的方向θ＝，到达B点所需时间为小时. 学生用书⬇第39页 　　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. 对点练2.(双空题)某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是　　　　m，方向是北偏东　　　　. 答案：60　30° 解析：如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则｜｜＝＝60(m)，tan ∠BOA＝＝，所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 任务三　向量与功 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 解：如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 30°＝50×20×＝500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为｜F1｜＝｜F｜sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为｜f｜＝｜μ(G－F1)｜＝(8×10－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝｜f｜｜s｜cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 　　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝｜F｜｜s｜cos θ(θ为F和s的夹角). 对点练3.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为　　　　. 答案：－40 解析：因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). 又因为＝(－1，4)，所以F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40. [教材拓展5]　三角形“心”的向量表示 已知O，N，P，Q在△ABC所在的平面内， (1)O为外心：①｜｜＝｜｜＝｜｜；②(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. (2)N为重心：＋＋＝0. (3)P为垂心：·＝·＝·. (4)内心Q所在的向量：＝λ(λ∈(0，1)). (多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A.若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B.若·(－)＝·(－)＝0，则点O为△ABC的垂心 C.若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D.若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 答案：AC 解析：对于A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心；对于B，向量，分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为，则它们的差是向量，则当·＝0，即⊥时，点O在∠BAC的平分线上，同理，由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心；对于C，(＋)·＝(＋)·(－)＝－＝0，所以｜｜＝｜｜，同理有｜｜＝｜｜，于是点O为△ABC的外心；对于D，由·＝··－·＝0，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥.同理可证⊥，⊥，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心.故选AC. 任务再现 (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解.(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题 方法提炼 转化法 易错警示 不能将物理问题转化为向量问题 学生用书⬇第40页 1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为(　　 ) A.v1－v2 B.v1＋v2 C.｜v1｜－｜v2｜ D. 答案：C 解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.人的速度和风速方向相反，｜v1＋v2｜＝＝＝｜v1｜－｜v2｜.故选C. 2.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为(　　) A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N 答案：D 解析：两个力的合力的大小为｜F1＋F2｜＝＝5(N).故选D. 3.已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为｜s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A.7 B.10 C.14 D.70 答案：D 解析：F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜cos 60°＝10×14×＝70.故选D. 4.已知平面内两个粒子A，B从同一发射源C(1，2)射出，在某一时刻，它们的位置分别为A(3，3)，B(2，4)，相应的位移分别为sA，sB，则sA在sB上的投影向量为　　　　. 答案：(，) 解析：sA＝(2，1)，sB＝(1，2)，则sA在sB上的投影向量为sB＝(，). 学科网（北京）股份有限公司 $