6.4 第1课时 向量在平面几何、物理中的应用（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.4　平面向量的应用 第 1 课时　向量在平面几何、物理中的应用(深化课—题型研究式教学) 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 题型(一)　向量在平面几何证明问题中的应用 [典例1]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [证明]　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a， 所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE. [方法技巧] 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直． (2)常用的两个方法 基向量法 选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明 坐标法 先建立平面直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明 [针对训练] 1．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 　 证明：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ.同理＝λ.于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. 题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题 [典例2]　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 　 [解]　法一：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. ∵||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4. ∴a·b＝.又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝. 法二：由平行四边形对角线长与边长之间的关系，得AC2＋BD2＝2(AD2＋AB2)． ∴AC2＝2(12＋22)－4＝6，∴AC＝. [方法技巧] 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝. [针对训练] 2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． 解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)． ∵D为AB的中点，∴D， ∴||＝，||＝， ∴||＝||，即CD＝AB. (2)∵E为CD的中点，∴E. 设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)． ∵A，E，F三点共线，∴＝λ. 即(x，－m)＝λ，则 解得λ＝，x＝，∴F， ∴||＝ ， 即AF＝ . 题型(三)　平面向量在物理中的应用 [典例3]　在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． [解]　设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－)． ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150，即没有风时飞机的航速为150 km/h，方向为北偏西60°. [方法技巧] 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题． [针对训练] 3．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．∵＋＝，∴四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 4．已知两恒力F1＝(3,4)，F2