6.4.1 平面几何中的向量方法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习四　向量应用 [单元整体设计]　本单元主要内容是平面向量在平面几何、在物理、以及在三角形中的应用.学习用向量方法处理平面几何问题，掌握解决几何问题的“三步曲”；用向量方法解决物理问题，掌握解决物理问题中的有关力、速度等模型；学习余弦定理、正弦定理是解决三角形中边角关系的基本工具，掌握余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用.学习计划7课时. 本单元内容重点是用向量方法解决简单几何问题、实际问题的方法与步骤，用向量方法证明余弦定理和正弦定理，余弦定理和正弦定理的应用.难点是如何将几何问题、实际问题转化为向量问题，余弦定理和正弦定理的证明.在研究的过程中，提升直观想象、数学建模、数学运算和逻辑推理的核心素养. 6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用，培养数学建模的核心素养. 任务一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 (链接教材P38例1)如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上. 证明：设＝m，＝n，由＝＝， 知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n，所以＝. 又O为的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 1.几何图形中要证明线段AB∥CD，只需证明存在实数λ，使得＝λ或x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2). 2.几何图形中要证明A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使得＝λ或存在实数t，使得＝t＋(1－t)(O为A，B，C所在直线外一点). 对点练1.如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 证明：因为⊥，⊥，所以∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ，同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ，所以∥. 因为点G不在直线EF上，所以HG∥EF. 学生用书⬇第36页 任务二　用向量解决平面几何中的垂直问题 (一题多解)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0， 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 利用向量解决垂直问题的方法和途径 1.方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 2.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 对点练2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以⊥，即DP⊥EF. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1，P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x). 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以⊥，即DP⊥EF. 任务三　利用平面向量求解几何中的长度问题 (链接教材P39例2)如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形.试用向量法证明：PA＝EF. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，则A(0，1)，P(λ，λ)，E，F，所以＝，＝. 所以｜｜＝ ＝ ，｜｜＝ ＝ ， 所以｜｜＝｜｜，所以PA＝EF. 　　用向量法求平面几何中线段的长度问题，即向量模的求解，一是利用图形特点选择基底，转化为向量的数量积，用公式｜a｜2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，利用向量的坐标计算｜a｜＝(a＝(x，y))，即把向量问题中的几何关系代数化，使问题解决程序化，从而降低难度. 对点练3.在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而｜｜＝｜a－b｜＝＝＝ ＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝. 又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， 所以｜｜＝，即AC＝. 学生用书⬇第37页 任务四　利用平面向量求解几何中的角度问题 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小. 解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝a＋b.所以｜｜2＝＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.所以AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°＜θ＜120°)，则θ为的夹角.所以cos θ＝＝＝＝＝0. 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°. 用向量法求角度的策略 1.将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可. 2.注意两向量夹角和要求角的关系. 对点练4.正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝　　　　. 答案： 解析：以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示.则D，E.所以＝，＝， 故cos ∠DOE＝＝＝， 即cos ∠DOE的值为. [教材拓展4]　向量的数量积与三角形的面积 　　在平面直角坐标系Oxy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？ 　　一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为S＝｜x1y2－x2y1｜.事实上，如图所示， 记t＝｜｜，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量.过B作OA的垂线BC.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知 ｜｜＝｜a·｜，因此，△OAB的面积为 S＝｜｜×｜｜＝｜｜×｜a·｜＝t×＝｜(－y1，x1)·(x2，y2)｜＝｜x1y2－x2y1｜. 　　由此也可以看出，如图所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为S＝｜x1y2－x2y1｜. (1)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，0)，B(1，2)，C(4，5)，则△ABC的面积S＝　　　　. (2)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，4)，C(5，7)，则△ABC的面积为　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)S＝｜1×5－2×4｜＝. (2)因为A(1，2)，B(2，4)，C(5，7)，所以＝(1，2)，＝(4，5)，所以S＝｜1×5－2×4｜＝. 任务再现 (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题.(2)用向量解决平面几何中的垂直问题.(3)利用平面向量求解几何中的长度问题.(4)利用平面向量求解几何中的角度问题 方法提炼 转化法、数形结合法 易错警示 不能将几何问题转化为向量问题 学生用书⬇第38页 1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案：C 解析：(＋)·(－)＝－＝0，即｜｜＝｜｜，所以CA＝CB，则△ABC是等腰三角形.故选C. 2.已知四边形的四个顶点A，B，C，D的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案：A 解析：因为＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，所以共线.又｜｜≠｜｜，所以该四边形为梯形.故选A. 3.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC等于(　　) A.－ B. C.0 D. 答案：B 解析：如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝.故选B. 4.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋＋)，则｜｜＝　　　　. 答案：1 解析：因为＝＋＋)，所以－＝＋)，＝＋)，所以AP为Rt△ABC斜边BC的中线.所以｜｜＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $