6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　数乘运算的坐标表示 (阅读教材P31，完成问题1) 问题1.已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). 平面向量数乘运算的坐标表示 1.语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy). 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 对点练1.已知向量a＝，b＝，c＝(4，7). (1)求2a－3b＋c； (2)求满足c＝ma＋nb的实数m，n. 解：(1)2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3). (2)因为c＝ma＋nb，所以＝m＋n＝， 所以 任务二　平面向量共线的坐标表示 (阅读教材P31，完成问题2) 问题2.已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 平面向量共线的坐标表示 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 角度1　向量共线的判定 (1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b(　　) A.平行且同向 B.平行且反向 C.垂直 D.不垂直也不平行 (2)(链接教材P31例7)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，且a＋2b与2a－2b共线，则λ＝　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)根据题意可知，b＝－2a，即a，b平行且反向.故选B. (2)因为向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，所以a＋2b＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝(2－2λ，2).又a＋2b与2a－2b共线，所以(1＋2λ)×2－4×(2－2λ)＝0，解得λ＝. 向量共线的判定方法 学生用书⬇第27页 角度2　三点共线的应用 (链接教材P32例8)已知A(1，－3)，B(8，)，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线. 证明：＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，因为7×4－×8＝0，所以∥，又直线AB，直线AC有公共点A，所以A，B，C三点共线. 三点共线的证明 1.由点的坐标得到相应向量的坐标. 2.根据坐标关系判断向量是否共线. 3.结合是否有公共点，判断三点是否共线. 对点练2.(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝　　　　. (2)设＝(1，－2)，＝(3，4)，＝(t，1)，若A，B，C三点能构成三角形，求实数t应满足的条件. 答案：(1)－1 解析：(1)由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1. (2)由已知＝－＝(2，6)≠0，＝－＝(t－1，3). 若A，B，C三点共线，由向量共线定理可知，存在唯一的λ∈R，使得＝λ， 所以(t－1，3)＝λ(2，6)＝(2λ，6λ)，即解得λ＝，t＝2. 所以当t≠2时，A，B，C三点能构成三角形. 任务三　向量坐标运算的综合运用 角度1　定比分点问题 (链接教材P32例9)已知两点A(3，－4)和B(－9，2)，在直线AB上存在一点P，使｜｜＝｜｜，那么点P的坐标为　　　　　　. 答案：(－1，－2)或(7，－6) 解析：设点P的坐标为(x，y)，由｜｜＝｜｜，可得＝＝－，①若＝，则有(x－3，y＋4)＝(－12，6)，所以x－3＝－4，y＋4＝2，解得x＝－1，y＝－2，此时P(－1，－2)；②若＝－，则有(x－3，y＋4)＝－(－12，6)，所以x－3＝4，y＋4＝－2，解得x＝7，y＝－6，此时P(7，－6).综上，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6). 1.用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比. 2.若＝λ，其中λ≠0. (1)当λ＞0时，点P在线段P1P2上； (2)当λ＜－1时，点P在线段P1P2的延长线上； (3)当－1＜λ＜0时，点P在线段P1P2的反向延长线上. 角度2　求直线的交点坐标 如图，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标. 解：因为＝＝(0，5)＝， 所以C. 因为＝＝(4，3)＝， 所以D. 设M(x，y)，则＝(x，y－5)， 因为∥，＝，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.① 又＝，＝，∥， 所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.② 联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为. 求直线交点坐标 1.设交点坐标. 2.根据交点所在位置构造关于交点的共线向量. 3.列方程组求交点坐标. 对点练3.(1)已知M(－2，5)，N(10，－1)，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为　　　　. (2)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为　　　　. 答案：(1)(2，3)　(2) 解析：(1)由题可知＝3，设P(x，y)，则＝(12，－6)，＝(x＋2，y－5)，3＝(3x＋6，3y－15)，所以⇒⇒P(2，3). (2)设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，由共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0，解得λ＝，所以＝(x－1，y)＝，所以x＝，y＝，所以点P的坐标为. 任务再现 (1)平面向量数乘运算的坐标表示.(2)两个向量共线的坐标表示 方法提炼 化归与转化 易错警示 两个向量共线的坐标表示的公式易记错 学生用书⬇第28页 1.已知向量a＝，b＝，那么2a＋b＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为a＝，b＝，所以2a＋b＝2(1，－1)＋＝＋＝.故选A. 2.已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　) A.－1或 B.1或－ C.－1 D. 答案：D 解析：非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，所以m＝.故选D. 3.已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝　　　　. 答案：－ 解析：＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意，舍去). 4.已知A，B，O为坐标原点，A，B，M三点共线，且＝＋λ，则点M的坐标为　　　　. 答案： 解析：因为A，B，M三点共线，且＝＋λ，所以λ＝.又A，B，即＝(2，－1)，＝(－1，1)，所以＝(2，－1)＋(－1，1)＝，则点M的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $