6.3.2-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养直观想象的核心素养. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示，培养数学运算的核心素养. 任务一　平面向量的坐标表示 (阅读教材P27—28，完成问题1) 问题1.如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋yj. 1.平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 (2)向量坐标与点的坐标的关系 在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标. [微提醒]　(1)向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不变. (1)如图所示，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示向量，，，并求出向量，，的坐标. (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.求向量a，b的坐标. 解：(1)由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，则坐标表示分别为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2). (2)如图所示，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， 所以A(2，2)，故a＝(2，2). 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， 所以∠COy＝30°，又OC＝AB＝3，所以C， 所以＝＝，即b＝. 学生用书⬇第24页 求点和向量坐标的常用方法 1.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. 2.在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 对点练1.(1)若＝(3，4)，A点的坐标为(－2，－1)，则B点的坐标为(　　) A.(1，3) B.(5，5) C.(1，5) D.(5，4) (2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标. 答案：(1)A 解析：(1)设B(x，y)，因为A点的坐标为(－2，－1)，所以＝(x＋2，y＋1).又因为＝(3，4)，所以即B点的坐标为(1，3).故选A. (2)由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝. 所以B，D. 又A(0，0)，所以＝，＝. 任务二　平面向量加、减运算的坐标表示 (阅读教材P29—30，完成问题2、3) 问题2.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题3.如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表， 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) [微提醒]　一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. (1)在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝(　　) A.(－2，4) B.(4，6) C.(－6，－2) D.(－1，9) (2)设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为(　　) A.(－2，1) B.(1，－2) C.(2，－1) D.(－1，2) (3)若＝(1，1)，＝(0，1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝　　　　. 答案：(1)A　(2)D　(3)－1 解析：(1)在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).又＝(－1，2)，所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2，4).故选A. (2)由题意可知＝－＝－i＋2j.因为＝，所以＝－i＋2j，所以C(－1，2).故选D. (3)因为＋＝＝－＝(－1，0)＝(a，b)，所以a＝－1，b＝0，所以a＋b＝－1. 平面向量坐标运算的技巧 1.若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算. 2.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算. 3.向量的坐标运算可类比数的运算进行. 对点练2.(1)已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝(　　) A.(1，－2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) (2)(双空题)若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，则向量2a＝　　　　，向量2b＝　　　　. 答案：(1)A　(2)(2，－2)　(－8，－6) 解析：(1)b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2). (2)a＋b＝(－3，－4)①，a－b＝(5，2)②.由①＋②，得2a＝(－3，－4)＋(5，2)＝(2，－2)；由①－②，得2b＝(－3，－4)－(5，2)＝(－8，－6). 学生用书⬇第25页 任务三　平面向量的加、减运算的应用 (一题多问)已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R).若＝＋，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内； (3)点P在坐标轴上. 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝. (2)若点P在第三象限内，则所以λ＜－1. (3)若点P在x轴上，则y＝4＋7λ＝0，所以λ＝－； 若点P在y轴上，则x＝5＋5λ＝0，所以λ＝－1. 所以当λ＝－或－1时点P在坐标轴上. 坐标形式下向量相等的条件及其应用 1.条件：相等向量的对应坐标相等. 2.应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 对点练3.已知点O(0，0)，A(1，2). (1)若点B(3m，3m)，＝＋，则当m为何值时，点P在x轴上？当m为何值时，点P在y轴上？ (2)若点B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP可能是平行四边形吗？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由. 解：(1)＝(1，2)，＝(3m，3m)，＝＋＝(1，2)＋(3m，3m)＝(1＋3m，2＋3m). 若点P在x轴上，则2＋3m＝0，解得m＝－. 若点P在y轴上，则1＋3m＝0，解得m＝－. (2)＝(4，5)－(1＋3t，2＋3t)＝(3－3t，3－3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则＝，则此方程组无解. 故四边形OABP不可能为平行四边形. 任务再现 (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示 方法提炼 数形结合 易错警示 已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标 1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于(　　) A.(－2，1) B.(2，－1) C.(2，0) D.(4，3) 答案：B 解析：由题意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故选B. 2.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A.(－7，－4) B.(1，2) C.(－1，4) D.(1，4) 答案：A 解析：设C(x，y)，因为A(0，1)，所以＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以所以C(－4，－2).又B(3，2)，所以＝(－7，－4).故选A. 3.已知O为坐标原点，＝(3，2)，＝(－5，2)，则点A的坐标为(　　) A.(－8，0) B.(－2，4) C.(2，－4) D.(8，0) 答案：D 解析：因为－＝，所以＝－＝(8，0)，则A(8，0).故选D. 4.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量－＋的坐标为　　　　. 答案：(2，0) 解析：依题意A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，C(1，1)，所以＝(1，0)，＝(1，1)，＝(1，1)－(1，0)＝(0，1)，故－＋＝(1，0)－(0，1)＋(1，1)＝(2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $