6.3.1 平面向量基本定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习三　平面向量基本定理及坐标表示 [单元整体设计]　本单元是继平面向量的概念、运算之后的又一重要内容，它是共线向量定理的推广，是平面向量正交分解的基础，是将向量的运算转化为代数(坐标)运算的基础，具有承前启后的作用.平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是利用向量解决问题的基本手段、有着广泛的应用.由平面向量基本定理可以进一步实现向量的坐标表示，即实现向量的代数表示，从而实现向量运算完全代数化，进而体现向量的工具作用.学习计划6课时. 本单元内容重点是平面向量基本定理，平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示.难点是平面向量基本定理唯一性的证明.在研究的过程中，体会数形结合思想、转化与化归思想的应用，同时也提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养逻辑推理的核心素养. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，培养数学运算的核心素养. 学生用书⬇第21页 任务一　平面向量基本定理 (阅读教材P25—26，完成问题1、2) 问题1.如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 提示：如图，＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题2.上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示：分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的. 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. [微提醒]　(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可.(2)当基底确定后，任一向量的表示方法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的.特别地：当λ1e1＋λ2e2＝0时，λ1＝λ2＝0. (1)如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则下列选项中可作为基底的是(　　) A. B. C. D. (2)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列选项中能作为平面内的一个基底的是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题图可知，，，共线，不能作为基底，不共线，可作为基底.故选B. (2)对于A，2e1＋2e2＝2(e1＋e2)，即向量e1＋e2与2e1＋2e2共线，故不能作为基底；对于B，e1－2e2＝－2，即向量e1－2e2与－e1＋e2共线，故不能作为基底；对于D，2e1＋3e2＝，即向量2e1＋3e2与e1＋e2共线，故不能作为基底；对于C，因为＝1≠，所以向量－e1＋e2与－e1－e2不共线，则能作为平面内的一个基底.故选C. 对基底的理解 1.判断两个向量能否构成一个基底，主要看两个向量是否不共线. 2.同一平面内向量的基底不唯一，但基底一旦确定，平面内的任一向量都可以用这一个基底唯一表示. 对点练1.(1)已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝　　　　. (2)已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为　　　　　　　　. 答案：(1)3　(2)(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析：(1)因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线.由平面向量基本定理得所以x－y＝3. (2)若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). 任务二　用基底表示向量 (1)已知四边形ABCD是平行四边形，且＝，＝3，则(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝－ D.＝－ (2)(双空题)如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为　　　　，以{a，c}为基底时，可表示为　　　　. 答案：(1)B　(2)a＋b　2a＋c 解析：(1)＝＋＝＋＝＋.故选B. (2)以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b.以{a，c}为基底时，＝＋＝＋＋＝2a＋c. 用基底表示向量的两种基本方法 1.运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止. 2.通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则根据来构建方程(组)，使得问题获解. 学生用书⬇第22页 对点练2.(1)如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝(　　) A.＋ B.－ C.－ D.－ (2)如图，已知平行四边形ABCD中，点E，F分别是边DC，AB的中点，AE，CF与对角线BD分别交于点G，H，设＝a，＝b.试用{a，b}为基底表示向量，. 答案：(1)D 解析：(1)因为AB∥DC，且＝2，所以＝2，即＝＝－)＝－.故选D. (2)由题意可知，G，H为BD的三等分点， 所以＝＝(－＋)＝(－＋)＝(－＋2)＝a－b. ＝＋＝－＋＝－a＋b＋a＝a＋b. 任务三　平面向量基本定理的应用 如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M.设＝a，＝b. (1)试用向量a，b表示向量； (2)分别在线段AC，BD上取点E，F，使EF过点M，若＝λ，＝μ，求＋的值. 解：(1)因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以可设＝s，＝t，则＝s＋(1－s)＝s＋，＝t＋(1－t)＝＋(1－t)，所以 所以＝a＋b. (2)由(1)知＝a＋b＝＋，因为E，M，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝7. 1.根据向量关系求参数的值的一般方法 先利用已知条件把相关向量用同一个基底表示，再利用向量相等建立方程(组)求解. 2.常用结论 若，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1. 对点练3.(1)如图，在直角梯形ABCD中，P是BC的中点，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，若＝m＋n，则＝(　　) A. B. C. D.2 (2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 答案：(1)C 解析：(1)因为P是BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝＋＋)＝＋＋×＝＋.又，不共线，所以m＝，n＝，所以＝.故选C. (2)设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μ e1＋μ e2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 任务再现 (1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的应用 方法提炼 数形结合 易错警示 忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量 学生用书⬇第23页 1.已知{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是(　　) A.e1＋e2和e1－2e2 B.2e1－e2和2e2－4e1 C.e1－2e2和e1 D.e1＋e2和2e2＋e1 答案：B 解析：因为2e1－e2＝－(2e2－4e1)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，所以2e1－e2和2e2－4e1不能作为基底.故选B. 2.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N.设＝m，＝n，则m＋n＝(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案：B 解析：由题意得＝＋)＝(m＋n)＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.故选B. 3.如图，在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝　　　　. 答案： 解析：因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋，所以＝. 4.已知a，b不共线，设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝　　　　. 答案：－m＋n 解析：设p＝xm＋yn(x，y∈R)，则p＝3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得所以p＝－m＋n. 学科网（北京）股份有限公司 $