6.2.4 第1课时 两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 第1课时　两向量的夹角及数量积的概念 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量，培养数学抽象的核心素养. 3.会计算平面向量的数量积，培养数学运算的核心素养. 任务一　两向量的夹角 (阅读教材P17，完成问题1) 问题1.在功的公式W＝｜F｜｜s｜cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示：θ是F与s的夹角. 1.夹角：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向； 当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. [微提醒]　(1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°，所以的夹角为30°，的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 对点练1.如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角. (1)与；(2)与；(3)与. 解：(1)的夹角是∠EDF＝60°. (2)因为＝，所以的夹角，即∠EDA＝120°. (3)如图所示，延长FD至B'，使DB'＝FD，则＝，则的夹角，即∠EDB'＝120°. 学生用书⬇第16页 任务二　两向量的数量积 (阅读教材P17，完成问题2) 问题2.物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W＝｜F｜｜s｜cos θ(θ为F与s的夹角). 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝｜a｜cos θ. (2)a⊥b ⇔ a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝. (4)｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. (5)cos θ＝. [微提醒]　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.(4)｜a｜＝ 是求向量的长度的工具. (1)(链接教材P17例9)已知向量a与b的夹角为120°，｜a｜＝3，｜b｜＝4，则a·b＝　　　　. (2)(链接教材P18例10)已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，b〉＝　　　. 答案：(1)－6　(2)－ 解析：(1)a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝3×4×＝－6. (2)因为｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，所以cos ＜a，b＞＝＝＝－. 求两个非零向量的数量积的两个关键点 1.确定模、夹角：利用图形或给出的数据求相关向量的模和夹角. 2.利用公式：代入数量积计算公式，求数量积. 对点练2.已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解：(1)因为的夹角为60°， 所以·＝｜｜｜｜cos 60°＝1×1×＝. (2)因为的夹角为120°，所以·＝｜｜｜｜cos 120°＝1×1×＝－. (3)因为的夹角为60°，所以·＝｜｜｜｜cos 60°＝1×1×＝. 任务三　投影向量 (阅读教材P18—19，完成问题3) 问题3.如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，如何用｜OA｜和θ表示｜OD｜？ 提示：｜OD｜＝｜OA｜cos θ. 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 学生用书⬇第17页 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝｜a｜cos θ e. [微提醒]　(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 在△ABC中，已知｜｜＝5，｜｜＝4，｜｜＝3，求： (1)在方向上的投影向量； (2)在方向上的投影向量的模. 解：(1)由题意得，AC⊥BC，cos A＝＝，所以方向上的投影向量为｜｜·cos A·＝3××＝. (2)由题意得，AC⊥BC，cos B＝，所以方向上的投影向量为｜｜·(－cos B)＝5×＝－4， 所以方向上的投影向量的模为4. 投影向量的求法 1.依据投影的定义：结合平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量. 2.直接利用公式：a在b方向上的投影向量是｜a｜cos θ e，其中〈a，b〉＝θ，e＝. 对点练3.(1)已知四边形ABCD为菱形，则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C.－ D.－ (2)已知｜a｜＝8，｜b｜＝3，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量是　　　　. 答案：(1)B　(2)a 解析：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.设AC与BD的交点为O，则向量＝.故选B. (2)因为｜a｜＝8，｜b｜＝3，a与b的夹角为，所以b在a方向上的投影向量是｜b｜cos 〈a，b〉·＝3××＝a. 任务再现 (1)向量的夹角.(2)向量数量积的定义及性质.(3)投影向量 方法提炼 数形结合 易错警示 向量夹角共起点；a·b＞0⇒/ 两向量夹角为锐角，a·b＜0⇒/ 两向量夹角为钝角 1.已知锐角△ABC，则下列说法正确的是(　　) A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是锐角 D.与的夹角是锐角 答案：C 解析：如图所示.对于A，的夹角为π－∠ABC，为钝角，故A错误；对于B，的夹角为π－∠BAC，为钝角，故B错误；对于C，的夹角为∠ACB，为锐角，故C正确；对于D，的夹角为π－∠BAC，为钝角，故D错误.故选C. 2.在△ABC中，B＝60°，AB＝6，BC＝5，则·＝(　　) A.30 B.－30 C.－15 D.15 答案：C 解析：由题意得，·＝｜｜｜｜·cos 120°＝6×5×＝－15.故选C. 3.已知e为单位向量，＝6，向量a，e的夹角为，则a在e上的投影向量是(　　) A.2e B.0 C.－3e D.－2e 答案：C 解析：e为单位向量，则＝1，则向量a在向量e上的投影向量为cos θ＝6cos e＝－3e.故选C. 4.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝　　　. 答案：2 解析：·＝｜｜｜｜cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $