6.2.3 向量的数乘运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 3.理解并掌握向量共线定理及其应用，培养数学抽象、数学运算的核心素养. 任务一　向量的数乘运算 (阅读教材P13，完成问题1) 问题1.如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？ 提示：＝＋＋＝a＋a＋a＝3a. ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍. 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 模 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ 方向 λa(a≠0)的方向： 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a [微提醒]　(1)数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加.(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.(3)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量. 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　 ) A.a与λa的方向相同 B.a与－λa的方向相反 C.＝·a D.＝· 答案：D 解析：依题意，λ＞0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是λ＜0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A、B错误；由数乘运算的长度的定义可知＝·，故C错误，D正确.故选D. 对数乘向量的三点说明 1.λa中的实数λ叫做向量a的系数. 2.向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍. 3.当λ＝0或a＝0时，λa＝0，注意是0，而不是0. 对点练1.(多选)对于非零向量a，下列说法正确的是(　　) A.2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同 B.－的长度是a的长度的，且－与a方向相反 C.若λ＝0，则λa等于零 D.若λ＝，则λa是与a同向的单位向量 答案：ABD 解析：对于A，2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同，故A正确；对于B，－的长度是a的长度的，且－与a方向相反，故B正确；对于C，若λ＝0，则λa等于零向量，不是零，故C错误；对于D，若λ＝，则λa是与a同向的单位向量，故D正确.故选ABD. 任务二　向量的线性运算 (阅读教材P14，完成问题2) 问题2.类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律. 1.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： (1)λ(μ a)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a； 学生用书⬇第12页 (3)λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (链接教材P14例5)计算： (1)3(2a－b)－6(a＋b)－2a； (2)－2； (3)2(a－b＋c)－(5a＋4b＋10c)＋(2a＋5b). 解：(1)原式＝6a－3b－6a－6b－2a＝－2a－9b. (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝(2a－2b＋2c)－(a＋b＋2c)＋(a＋2b) ＝＋＋(2c－2c) ＝a－b. 向量线性运算的基本方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. 对点练2.(1)下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a； ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则－＋(2b－a)＝　　　　(用i，j表示). 答案：(1)C　(2)－i－5j 解析：(1)①②正确，③错误.故选C. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j. 任务三　向量共线定理 (阅读教材P15—16，完成问题3) 问题3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)？ 提示：共线，存在. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. [微思考]　共线向量定理中为什么规定a≠0？ 提示：向量共线定理中规定a≠0的原因： (1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线； (3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾. 角度1　证明或判定向量共线、三点共线 (链接教材P15例7)设向量a与b不共线，＝a－b，＝3a＋2b，＝－8a－2b，求证：A，C，D三点共线. 证明：＝＋＝a－b＋3a＋2b＝4a＋b，所以＝－2，所以共线. 又因为有公共点C，所以A，C，D三点共线. 证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. 学生用书⬇第13页 角度2　利用向量共线求参数 (1)已知e1，e2是两个非零不共线向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝　　　　. (2)已知e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k＝　　　　. 答案：(1)－2　(2)－8 解析：(1)因为a与b是共线向量，所以存在实数λ，使a＝λb，所以2e1－e2＝λ(ke1＋e2)，即(2－λk)e1＝(λ＋1)e2.因为e1，e2不共线，所以解得k＝－2. (2)＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以，共线，所以存在实数λ，使＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以(2－λ)e1＝(－4λ－k)e2.因为e1与e2不共线，所以解得k＝－8. 利用向量共线求参数的方法 根据两个非零向量a，b共线可知存在实数λ使得b＝λa，代入a，b化简后转化为关于两个新向量相等的式子.若两个新向量不共线，则两个向量的系数均为零，据此利用待定系数法建立方程(组)，通过解方程(组)求得参数的值. 对点练3.(1)已知向量a，b不共线，若＝a＋2b，＝－3a＋7b，＝4a－5b，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 (2)已知向量a，b不共线，c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，且c与d方向相反，则实数x的值是(　　) A.－ B.1 C.－1或－ D.1或－ 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)对于A，因为＝a＋2b，＝－3a＋7b，若A，B，C三点共线，则存在实数λ使得＝λ，则无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，因为＝＋＋＝a＋2b－3a＋7b＋4a－5b＝2a＋4b，所以＝2(a＋2b)＝2，又因为A是公共点，所以A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为＝a＋2b，＝－3a＋7b，所以＝－2a＋9b，若A，C，D三点共线，则存在实数λ使得＝λ，又＝4a－5b，所以无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数λ使得＝λ，又＝－3a＋7b，＝4a－5b，所以无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误.故选B. (2)因为c与d方向相反，所以存在k＜0，使得d＝kc，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.又向量a，b不共线，所以整理得x(2x－1)＝1，解得x＝1或x＝－，所以又k＜0，所以x＝－，故选A. 任务四　用已知向量表示未知向量 (链接教材P14例6)如图，四边形ABCD中，已知＝2. (1)用，表示； (2)若＝2，＝，用，表示. 解：(1)因为＝＋＋，所以＝＋＋＝－. (2)因为＝＋＝－＝－－)，所以＝＋＝·＋＝＋. 用已知向量表示其他向量的方法 1.观察几何图形的特征，确定已知向量与要表示向量之间的关系. 2.结合向量运算的三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示所求向量. 对点练4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.用a，b表示，，，，. 解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，则＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝a＋b， 故＝＝a＋b， ＝＝b，＝－＝a＋b－a＝b－a，＝－＝b－a. 学生用书⬇第14页 [教材拓展1]　奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)，则有S△PBC∶S△PAC∶S△PAB∶S△ABC＝｜x｜∶｜y｜∶｜z｜∶｜x＋y＋z｜. 如图，已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC＝(　　) A.14∶3 B.19∶4 C.24∶5 D.29∶6 答案：B 解析：由＝，得－＝－)，整理得＝＋＝＋.由＝，得＝－)，整理得＝－，所以－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，所以由奔驰定理推论得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. [教材拓展2]　平面内三点共线的充要条件 若O是直线AB外的任意一点，若＝x＋y，则A，B，P三点共线的充要条件是x＋y＝1. 如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋(m∈R)，则m的值为　　　　. 答案： 解析：因为＝m＋，＝2，即＝，所以＝m＋＝m＋.又C，P，D三点共线，所以m＋＝1，解得m＝. 任务再现 (1)向量的数乘及运算律.(2)向量共线定理.(3)三点共线的常用结论 方法提炼 数形结合、分类讨论 易错警示 忽视零向量这一个特殊向量 1.已知向量a，b，则2(a＋b)－(a－b)＝(　　) A.a＋b B.a－b C.3a＋b D.a＋3b 答案：D 解析：2(a＋b)－(a－b)＝2a＋2b－a＋b＝a＋3b.故选D. 2.已知点C在线段AB上，且AC＝CB，则(　　) A.＝ B.＝－ C.＝－ D.＝ 答案：C 解析：根据题意设AC＝2，BC＝5，AB＝7，又的方向相反，所以＝－.故选C. 3.在梯形ABCD中，＝3，则＝　　　　　　　.(用，表示) 答案：－＋ 解析：如图所示，＝＋＋＝－＋＋＝－＋. 4.设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝　　　. 答案：－ 解析：因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以解得k＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $