6.2.2 向量的减法运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则，培养数学运算的核心素养. 任务一　向量的减法运算 (阅读教材P11，完成问题1、2) 问题1.一架飞机由A地到B地，再由B地到A地.飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？ 提示：飞机的两次位移分别是，，它们的模相等，方向相反. 问题2.在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示：减去一个数等于加上这个数的相反数. 1.相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法. [微提醒]　(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 学生用书⬇第9页 (多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是(　　 ) A.m＝n B.m＝－n C.｜m｜＝｜n｜ D.m与n方向相反 答案：BCD 解析：相反向量的大小相等、方向相反，故A错误.故选BCD. 1.抓住相反向量的两个要素：大小相等、方向相反，对每个选项作出判断，注意零向量. 2.向量的减法运算可看作向量加法与相反向量的综合. 对点练1.(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.相反向量就是方向相反的向量 B.向量与是相反向量 C.两个向量的差仍是一个向量 D.相反向量是共线向量 答案：BCD 解析：由相反向量的定义知B、D正确，且C正确，A错误.故选BCD. 任务二　向量减法的几何意义 (阅读教材P11—12，完成问题3) 问题3.向量加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么如何进行向量的减法运算呢？ 提示：转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义. (链接教材P12例3)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. 2.可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 对点练2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 任务三　向量加、减运算的综合应用 角度1　向量加、减的混合运算 化简：(1)＋－－； (2)(＋＋)－(－－). 解：(1)＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. (2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0. 向量加减法运算的基本方法 1.利用相反向量统一成加法(相当于向量求和). 2.运用减法公式－＝(正用或逆用). 3.运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 学生用书⬇第10页 角度2　用已知向量表示其他向量 (链接教材P12例4)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. [变式探究] (变条件)若本例中的条件“B是该平行四边形外一点”变为“B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 用已知向量表示其他向量的一般步骤 第一步：先观察各个向量在图形中的位置； 第二步：寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果. 对点练3.(1)(多选)下列结果为零向量的是(　　) A.＋(－) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ 答案：BCD 解析：对于A，＋(－)＝＋(＋)＝＋＝≠0，故A不正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B正确；对于C，－＋＝＋＝0，故C正确；对于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故D正确.故选BCD. (2)(一题多问)如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： ①； ②； ③－； ④＋； ⑤－. 解：①＝－＝c－a. ②＝－＝d－a. ③－＝＝－＝d－b. ④＋＝－＋－＝b－a＋f－c. ⑤－＝－－(－)＝f－b－d＋b＝f－d. 任务再现 (1)向量的减法运算.(2)向量减法的几何意义 方法提炼 数形结合 易错警示 忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算 1.已知正六边形ABCDEF，则＋－＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：如图所示，由正六边形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＋－＝＝.故选B. 2.化简－＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B. 3.在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c 答案：A 解析：＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.故选A. 4.(双空题)若a，b互为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝　　　　，｜a－b｜＝　　　　. 答案：0　2 解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0.又a＝－b，所以｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b同向共线，所以｜a－b｜＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $