6.2.1 向量的加法运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习二　向量运算 [单元整体设计]　本单元内容承上启下，是本章的核心内容之一.数有了运算才威力无穷，向量也如此.本单元按照“情境——明确运算对象——定义运算法则——讨论运算性质——运算的简单应用”的过程展开，主要包括向量的线性运算和向量的数量积.向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘运算.在向量的加、减运算中，加法运算是基本运算，减法运算是向量加法运算的逆运算，它们有各自的几何意义，并且可以互相统一；向量的数乘运算反映了一类向量——共线向量的关系.学习计划5课时. 本单元内容重点是向量的加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律.难点是对向量加法运算法则与向量减法定义的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养. 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，培养直观想象的核心素养. 任务一　向量加法的定义及三角形法则 (阅读教材P7—8，完成问题1) 问题1.某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的一种方法吗？ 提示：如图所示，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同，因此位移合成的，即的和；三角形法则. 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. [微提醒]　运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”. (1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　) A. B. C. D.0 (2)(链接教材P10T3)(多空题)如图所示， ①a＋b＝　　　　； ②c＋d＝　　　　； ③a＋b＋d＝　　　　； ④c＋d＋e＝　　　　. 答案：(1)A　(2)①c　②f　③f　④g 解析：(1)＋＋＝＋＝. (2)①a＋b＝＋＝c； ②c＋d＝＋＝f； ③a＋b＋d＝＋＋＝＝f； ④c＋d＋e＝＋＋＝g. 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点，即＋＋…＋＝. 对点练1.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　　) A. B. C. D.0 答案：A 解析：＋＋＝＋＝.故选A. 学生用书⬇第6页 任务二　向量加法的平行四边形法则 (阅读教材P8，完成问题2) 问题2.如图，作ADBC， (1)向量与是什么关系？ (2)由向量加法的三角形法则可知，＋＝，则＋与相等吗？ (3)四边形ABCD的形状如何？ 提示：(1)＝. (2)相等. (3)平行四边形. 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. [微提醒]　应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. (链接教材P8例1)如图，已知下列各组向量a，b，试作出向量a＋b. (1)　(2) (3)　(4) 解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图所示： (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图所示： (3)在平面内任取一点O，作＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b，如图所示： (4)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，如图所示： 向量加法的三角形法则 和平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 对点练2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由的模相等，方向相同，得＝，即＋＝.故选C. 任务三　向量加法的运算律及应用 (阅读教材P9，完成问题3、4) 问题3.请结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，探索一下｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系. 提示：(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜. (2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜. (3)当a与b反向时，若｜a｜＞｜b｜，则a＋b的方向与a相同，且｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜；若｜a｜＜｜b｜，则a＋b的方向与b相同，且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜. 问题4.我们知道实数的加法运算满足交换律a＋b＝b＋a和结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).向量的加法是否也满足a＋b＝b＋a和(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)呢？试结合向量加法的运算给予证明. 提示：满足.如图①，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，容易发现＝b，＝a，故＝＋＝a＋b.又＝＋＝b＋a，所以a＋b＝b＋a. 如图②，易得(a＋b)＋c＝＋＝，且a＋(b＋c)＝＋＝，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 学生用书⬇第7页 1.｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系 一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋； (4)＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. (4)＋＋＝＋＋＋＋＝. 向量加法运算律的意义和应用原则 1.意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 2.应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 对点练3.(1)向量＋＋＝(　　) A. B. C. D. (2)(双空题)根据右图填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝. ①a＋b＋c＝　　　　　　； ②b＋d＋c＝　　　　　　. 答案：(1)B　(2)①　② 解析：(1)＋＋＝＋＋＝.故选B. (2)①a＋b＋c＝＋＋＝. ②b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝＋＝. 任务四　向量加法的实际应用 (链接教材P9例2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解：作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中， ｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 m/min， ｜｜＝｜v船｜＝20 m/min， 所以cos α＝＝＝， 所以α＝60°， 从而船与水流方向成120°的角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向. [变式探究] 1.(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程(单位：km). 解：由典例4解析图可知｜｜＝｜｜＝×20＝10(m/min)＝(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km). 2.(变条件、变设问)若将本例的条件改为“船沿垂直于水流的方向航行”，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角). 解：如图所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 m/min， ｜｜＝｜v水｜＝10 m/min， 则tan ∠BAC＝2，即为所求. 应用向量的方法解决实际问题的基本步骤 第一步，表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第二步，运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第三步，还原：将向量的运算结果还原到实际问题中作答. 学生用书⬇第8页 对点练4.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，物体的重力用表示，则＋＝. 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°， 所以∠FCE＝90°，四边形CFGE为矩形， 所以｜｜＝｜｜cos 30°＝10×＝5 (N)，｜｜＝｜｜cos 60°＝10×＝5(N). 所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 任务再现 (1)向量加法的三角形法则.(2)向量加法的平行四边形法则.(3)向量三角不等式.(4)向量加法的运算律 方法提炼 数形结合 易错警示 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点 1.化简＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据平面向量的加法运算，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选C. 2.如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A.0 B. C. D. 答案：D 解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.故选D. 3.已知非零向量a，b，｜a｜＝8，｜b｜＝5，则｜a＋b｜的最大值为　　　　. 答案：13 解析：因为｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，所以｜a＋b｜的最大值为13. 4.小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为　　　　km/h. 答案：20 解析：根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际航行速度的大小为＝20(km/h). 学科网（北京）股份有限公司 $