6.1 平面向量的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习一　向量概念 [单元整体设计]　向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵.向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.通过本章的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理；用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题；用向量方法研究了任意三角形的边角关系，得到余弦定理、正弦定理，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模的核心素养.基于此，本章共分四个单元整体设计：向量概念，向量运算，平面向量基本定理及坐标表示，向量应用，学习计划20课时(含章末). 本单元主要通过物理中的位移、速度、力等抽象出数学中的向量，并类比实数的几何表示，以及物理学中位移的表示方法，用有向线段表示向量，进而通过向量之间的关系来认识相等向量与共线向量.学习计划1课时. 本单元内容重点是向量的概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量的概念.难点是向量的概念和共线向量的概念.在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象的核心素养. 6.1　平面向量的概念 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念，培养数学抽象的核心素养. 任务一　向量的概念及几何表示 (阅读教材P2—3，完成问题1、2) 问题1.在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向. 问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的？ 提示：用箭头表示方向. 向量的概念及表示 定义 既有大小又有方向的量叫做向量.只有大小没有方向的量称为数量 表示方法 (1)几何表示法：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；如：以A为起点、B为终点的有向线段记作； (2)字母表示法：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，) 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，如a，的模记作｜a｜，｜｜ [微提醒]　(1)向量有两个要素：大小和方向.(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(3)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示. 学生用书⬇第2页 角度1　向量的基本概念 (1)(链接教材P4练习T1)给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间. 其中不是向量的有(　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 (2)(多选)下列说法中正确的有(　　) A.向量的模与向量的模相等 B.有向线段就是向量，向量就是有向线段 C.｜a｜与｜b｜是否相等与a，b的方向无关 D.向量的模可以比较大小 答案：(1)C　(2)ACD 解析：(1)质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量.故选C. (2)向量的模都等于线段AB的长度，故A正确；有向线段是向量的几何表示，两者并不相同，故B错误；｜a｜与｜b｜分别表示向量a与b的大小，与a，b的方向无关，故C正确；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D正确.故选ACD. 判断一个量是否为向量的关键是看它是否具备向量的两个要素；向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 角度2　向量的几何表示 (链接教材P5T1)已知如图所示的坐标纸中每个小方格的边长为1. (1)｜｜＝3，点A在点O的正西方向，画出向量； (2)｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向，画出向量｜｜； (3)画出向量，并写出向量的大小和方向. 解：(1)画出向量，如图所示. (2)画出向量，如图所示. (3)画出向量，如图所示，则｜｜＝＝3，向量的方向为正北. 用有向线段表示向量的步骤 第一步：定起点：确定表示向量的有向线段的起点； 第二步：定方向：确定表示向量的有向线段的方向； 第三步：定终点：根据向量的模，确定有向线段的长度进而确定终点. 对点练1.如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方向(图中每个小方格的边长为100 m). (1)作出向量，，； (2)求的模. 解：(1)根据题意可知，点B在点A的正西方向，且｜｜＝200 m，所以点B的位置可以确定. 因为点D在点B的正北方向，所以CD⊥BD，又点C在点D的正西方向，｜｜＝200 m，｜｜＝200 m，所以｜｜＝200 m，即D，C两点的位置可以确定. 作出，，，如图所示. (2)作出向量，如图所示，由题意可知，CD∥AB，且｜｜＝｜｜＝200 m，所以四边形ABCD是平行四边形，则｜｜＝｜｜＝200 m，所以的模为200 m. 任务二　零向量和单位向量 (阅读教材P3，完成问题3) 问题3.我们知道向量的模是表示向量的有向线段的长度，那么向量的模是否可以为0或1呢？模为0或1的向量如何定义呢？ 提示：可以为0或1；模为0或1的向量分别定义为零向量和单位向量. 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 [微提醒]　(1)不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.(2)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同. 学生用书⬇第3页 (多选)下列说法正确的是(　　) A.零向量可以是任意方向 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 答案：ACD 解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向是任意的，零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故A，C，D正确. 1.单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. 2.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆. 对点练2.(多选)下列说法中错误的是(　　 ) A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案：ABD 解析：零向量的模为0，故A不正确；单位向量是长度等于1个单位长度的向量，有无数个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.故选ABD. 任务三　相等向量与共线向量 (阅读教材P3—4，完成问题4、5) 问题4.如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同. 问题5.如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小相等，方向相同. 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a＝b [微提醒]　在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性. (链接教材P4例2)O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量； (2)找出与共线的向量； (3)找出与的模相等的向量； (4)向量与是否相等？ 解：因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. (1)由题中图形可得：＝，＝. (2)由题中图形可得，与共线的向量有：，，. (3)与的模相等的向量有：，，，，，，. (4)向量不相等，因为它们的方向不相同. 相等向量与共线向量的探求方法 1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. 2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量. 对点练3.已知四边形ABCD，下列说法正确的是(　　) A.若＝，则四边形ABCD为平行四边形 B.若｜｜＝｜｜，则四边形ABCD为矩形 C.若∥，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD为矩形 D.若｜｜＝｜｜，且∥，则四边形ABCD为梯形 答案：A 解析：对于A，若＝，则｜｜＝｜｜且∥，则四边形ABCD为平行四边形，故A正确； 对于B，如图所示，｜｜＝｜｜＝2，但是四边形ABCD不是矩形，故B错误；对于C，若∥，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故C错误；对于D，若｜｜＝｜｜，且∥，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是梯形，故D错误.故选A. 学生用书⬇第4页 对点练4.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝BC.又因为D是BC的中点，所以与，，，，，，. (2)模与，，，，. (3)与，. 任务再现 (1)向量的概念及表示.(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量) 方法提炼 数形结合 易错警示 零向量和单位向量的方向容易混淆 1.如图，在圆O中，向量，，是(　　) A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等向量 答案：C 解析：由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径.故选C. 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A.加速度是向量 B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量 C.一人从A点向东走500米到达B点，则向量表示这个人从A点到B点的位移 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 答案：AB 解析：由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；B显然正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故C不正确；若两个单位向量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故D错误.故选AB. 3.(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.＝ D.与共线 答案：AD 解析：因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有＝，故A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则｜｜与｜｜不一定相等，故B不正确；点A，O，B不共线，故C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有共线，故D正确.故选AD. 4.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，找出存在下列关系的向量： (1)共线向量：　； (2)方向相反的向量：　； (3)模相等的向量：　. 答案：(1)a与d，b与e　(2)a与d，b与e　(3)a，c，d 解析：由题图得a∥d，b∥e，因此a与d是共线向量，并且方向相反，b与e是共线向量，并且方向相反，显然｜a｜＝，｜c｜＝，｜d｜＝，因此a，c，d的模相等. 学科网（北京）股份有限公司 $