学易金卷：八年级数学下学期3月学情自测卷（深圳专用，范围：新教材北师大版八下第1～2章）

2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一、二章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 解得：， 把解集在数轴上表示为： ． 故选：D 3．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∵是的平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴点到直线的距离为， 故选：A． 4．如图为一单摆模型，摆长为，小球左右摆动的角度均为，忽略空气阻力，小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵摆长为，小球左右摆动的角度均为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为， 故选：D． 5．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 6．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：A． 7．已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵，设， ∴，为整数，即可取至， ∵为整数，， ∴被整除， ∵为整数，， ∴被整除， 检验至： 被整除时，， 被整除时，仅满足（被整除）， ∴， 代入：，，， 代入：，，， ∴， 故选：C． 8．如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵函数， ∴ ， 解得：． ∴自变量的取值范围是 ， 故答案为：． 10．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 11．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N， ∵是的平分线， ∴， 设点A到直线的距离为h， 则，， ∴， 即， 故答案为：． 12．若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是 ． 【答案】 6 【详解】解：解不等式 得 ， 解不等式 得 ， 所以不等式组的解集为 ； ∵不等式组的整数解仅为 1，2，3， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴可取1，2，3，可取7，8． 所以，整数对共有 组． 故答案为：6． 13．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当 时，是直角三角形． 【答案】 或 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14．（6分）解下列不等式或不等式组： (1)； (2) 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 2分 合并同类项，得 系数化为1，得； 3分 （2） 解：解不等式①，得 4分 解不等式②，得 5分 所以该不等式组的解集是． 6分 15．（7分）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是泉州七中金山校区周围环境的百度地图，小明他根据百度地图绘制了一幅简略的地图如图②：把泉州七中金山校区标记为M点，旁边的鲤城区实验小学标记为N点，两条相交叉的公路表示为金洲街，表示为土地路． (1)小明现计划开一间超市，希望超市到两所学校的距离相等，到两条公路的距离也相等，且在内.你能确定超市应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． (2)请写出你的作图依据： 依据一：__________． 依据二：__________． 【详解】（1）解：如图所示：点即为所求； 2分 连接，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点和E，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． （2）解：∵超市到和的距离相等， ∴超市应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴依据一：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； 5分 依据二：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 7分 16．（8分）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为； 由函数图象可得，不等式的解集为； 2分 （2）解：将，代入得， 解得， 一次函数的函数解析式为； 4分 （3）解：对于， 当时，， 即点A的坐标为， 对于， 当时，， 即点B的坐标为， 6分 则， 点D的坐标为， 的边上的高为， 则的面积为． 8分 17．（8分）已知在锐角中，，点D是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【详解】（1）证明：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 2分 （2）证明：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 4分 ∵， ∴， ∴， ∴； 5分 （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 6分 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8分 18．（10分）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ 【详解】（1）解：设种笔记本每本元，种笔记本每本元， 1分 根据题意，得，解得， 3分 答：A种笔记本每本元，种笔记本每本8元． 4分 （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本，总费用为元， 5分 根据题意，得，解得，且为正整数， 7分 总费用， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为， 此时， 9分 答：购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少费用是元． 10分 19．（10分）（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 1分 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； 2分 ②是定值，不会变化，理由如下， 3分 ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， 5分 ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； 6分 （2），度数不会变化，理由如下， 7分 ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 9分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10分 20．（12分）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； 2分 （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， 4分 ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； 6分 （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 8分 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 10分nn 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分）》 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C1[D1 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B[C][DJ 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 11 12 13. 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) A · 水… B 图① 图2 16.(8分) y y=kx+b B y=x-2 A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) D D D E F G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A D B A C A 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9． 10．或． 11． 12． 6 13． 或 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 2分 合并同类项，得 系数化为1，得； 3分 （2） 解：解不等式①，得 4分 解不等式②，得 5分 所以该不等式组的解集是． 6分 15．【详解】（1）解：如图所示：点即为所求； 2分 连接，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点和E，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． （2）解：∵超市到和的距离相等， ∴超市应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴依据一：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； 5分 依据二：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 7分 16．【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为； 由函数图象可得，不等式的解集为； 2分 （2）解：将，代入得， 解得， 一次函数的函数解析式为； 4分 （3）解：对于， 当时，， 即点A的坐标为， 对于， 当时，， 即点B的坐标为， 6分 则， 点D的坐标为， 的边上的高为， 则的面积为． 8分 17．【详解】（1）证明：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 2分 （2）证明：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 4分 ∵， ∴， ∴， ∴； 5分 （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 6分 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8分 18．【详解】（1）解：设种笔记本每本元，种笔记本每本元， 1分 根据题意，得，解得， 3分 答：A种笔记本每本元，种笔记本每本8元． 4分 （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本，总费用为元， 5分 根据题意，得，解得，且为正整数， 7分 总费用， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为， 此时， 9分 答：购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少费用是元． 10分 19．【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 1分 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； 2分 ②是定值，不会变化，理由如下， 3分 ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， 5分 ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； 6分 （2），度数不会变化，理由如下， 7分 ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 9分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10分 20．【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； 2分 （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， 4分 ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； 6分 （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 8分 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 10分 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[BJIC][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 9 10. 11 12. 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) A g K B 图① 图② 16.(8分) 个y=kx+b y=x一2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) E E F F G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) M M B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一、二章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．如图为一单摆模型，摆长为，小球左右摆动的角度均为，忽略空气阻力，小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 6．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 7．已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． 11．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 12．若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是 ． 13．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当 时，是直角三角形． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14．（6分）解下列不等式或不等式组： (1)；(2) 15．（7分）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是泉州七中金山校区周围环境的百度地图，小明他根据百度地图绘制了一幅简略的地图如图②：把泉州七中金山校区标记为M点，旁边的鲤城区实验小学标记为N点，两条相交叉的公路表示为金洲街，表示为土地路． (1)小明现计划开一间超市，希望超市到两所学校的距离相等，到两条公路的距离也相等，且在内.你能确定超市应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． (2)请写出你的作图依据： 依据一：__________． 依据二：__________． 16．（8分）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 17．（8分）已知在锐角中，，点D是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想，，之间的数量关系并证明． 18．（10分）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ nn 19．（10分）（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 20．（12分）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一、二章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．如图为一单摆模型，摆长为，小球左右摆动的角度均为，忽略空气阻力，小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 6．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 7．已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． 11．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 12．若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是 ． 13．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当 时，是直角三角形． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。 14．（6分）解下列不等式或不等式组： (1)；(2) 15．（7分）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是泉州七中金山校区周围环境的百度地图，小明他根据百度地图绘制了一幅简略的地图如图②：把泉州七中金山校区标记为M点，旁边的鲤城区实验小学标记为N点，两条相交叉的公路表示为金洲街，表示为土地路． (1)小明现计划开一间超市，希望超市到两所学校的距离相等，到两条公路的距离也相等，且在内.你能确定超市应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． (2)请写出你的作图依据： 依据一：__________． 依据二：__________． 16．（8分）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 17．（8分）已知在锐角中，，点D是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想，，之间的数量关系并证明． 18．（10分）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元． (1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？ 19．（10分）（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 20．（12分）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $