专题05 等比数列（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题05 等比数列 教学目标 1．理解等比数列的定义与等比中项概念，明确等比数列的核心特征及相关注意事项。 2．掌握等比数列通项公式及项的关系，能结合公式进行项的求解与推导。 3．熟记等比数列的常用性质，理解其单调性规律，能运用性质解决数列相关问题。 教学重难点 重点：掌握等比数列的定义、通项公式及核心性质，能熟练进行基础计算。 难点：灵活运用等比数列性质解题，结合条件判断并分析数列的单调性。 知识点01 等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的______都等于______,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母______表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却______等比数列.如常数列是各项都为______的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,______ 【即学即练】 1．已知各项都不为的等比数列满足，则其公比 . 2．1和4的等比中项是（   ） A．4 B． C． D． 知识点02 等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为______ （2）第项与第项的关系为______,变形得______ （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 【即学即练】 3．在正项等比数列中，，，则公比为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．设是等比数列，，，则的通项公式 ． 知识点03 等比数列的常用性质 （1）如果,则有______ （2）如果,则有______ （3）若成等比数列,则成等______数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为______. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递______数列; ②当或时,等比数列为递______数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 【即学即练】 5．等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 6．已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 题型01 等比数列的通项与基本量 【例1】在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A．2 B． C．4 D．8 【变式1-1】已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 【变式1-2】设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【变式1-3】等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式． （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 题型02 等比数列的判断与证明 【例3】已知数列的首项，且满足.证明：数列为等比数列； 【例4】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式2-1】已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知正项数列满足：.证明是等比数列，并求通项； 【变式2-3】已知数列中，，.求证：数列是等比数列. 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 题型03 等比中项及其应用 【例5】在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（   ） A．是与的等比中项 B．是与的等比中项 C．是与的等比中项 D．是与的等比中项 【例6】已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则（    ） A．64 B．60 C．56 D．48 【变式3-1】已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（   ） A．平均数是30%分位数和极差的等比中项 B．30%分位数是平均数和极差的等比中项 C．平均数是30%分位数和极差的等差中项 D．30%分位数是平均数和极差的等差中项 【变式3-2】已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】设正项数列是它的前项之和，对于任意正整数与2的等差中项等于与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ． 由等比中项的定义可知,所以只有同号时, 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. 题型04 利用等比数列的性质计算 【例7】在等比数列中，若，则（   ） A．2 B．4 C．16 D．64 【例8】若等比数列满足，，则 ． 【变式4-1】已知正项数列满足，且，则（   ） A．6 B．42 C．80 D．84 【变式4-2】（多选）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【变式4-3】已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型05 等比数列的单调性与最值 【例9】若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例10】（多选）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【变式5-1】（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，则的单调性为 （填“单调递增”“单调递减”“不单调”）；当 时，取得最大值. 【变式5-3】数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 题型06 等比数列中的对称设元 【例11】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（    ） A．28 B．26 C．24 D．20 【例12】在320与5之间插入5个数，使这7个数成等比数列，求所插入的5个数． 【变式6-1】在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 . 【变式6-2】已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则 【变式6-3】依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数. 若三个数成等比数列设为，推广到一般:奇数个数成等比数列设为: 若四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为 题型07 等比数列中插入数 【例13】已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【例14】已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（多选）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项，之间插入个数，使到这个数构成第个等差数列，则（   ） A． B．第个等差数列的公差为 C．第8个等差数列的所有项的和为 D．是第15个等差数列中的第9项 【变式7-2】已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 【变式7-3】已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，在和之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，数列中是否存在三项，且成等差数列）成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型08 等比数列的实际应用 【例15】生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（    ） A． B． C． D． 【例16】朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【变式8-1】某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为 ． 【变式8-2】如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【变式8-3】1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 一、单选题 1．若成等比数列，且公比为，则的公比为（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．已知实数，a，b，c，成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D． 3．已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列满足，且，则（   ） A．24 B．或24 C． D．或 5．已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 7．已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 8．已知数列满足，，则（   ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 二、多选题 9．已知数列满足为常数，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．，使得为等差数列 D．，使得中存在相邻三项成等比数列 10．已知等差数列的通项公式是，则（    ） A．等差数列的公差 B．数列是递减数列 C．-100是数列中的某一项 D．数列一定是等比数列 11．在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 12．在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 三、填空题 13．若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则 . 14．已知数列是等比数列，依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又中任何两个都不在同一列，则 ． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 15．已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为 . 四、解答题 16．已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 17．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 18．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等比数列 教学目标 1．理解等比数列的定义与等比中项概念，明确等比数列的核心特征及相关注意事项。 2．掌握等比数列通项公式及项的关系，能结合公式进行项的求解与推导。 3．熟记等比数列的常用性质，理解其单调性规律，能运用性质解决数列相关问题。 教学重难点 重点：掌握等比数列的定义、通项公式及核心性质，能熟练进行基础计算。 难点：灵活运用等比数列性质解题，结合条件判断并分析数列的单调性。 知识点01 等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时, 【即学即练】 1．已知各项都不为的等比数列满足，则其公比 . 【答案】/ 【详解】由，得，因，则得,解得 故答案为：. 2．1和4的等比中项是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】设1和4的等比中项是， 则，所以. 故选：C. 知识点02 等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为 （2）第项与第项的关系为,变形得 （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 【即学即练】 3．在正项等比数列中，，，则公比为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由可得， 由于，故，且 由可得，故， 故选：A 4．设是等比数列，，，则的通项公式 ． 【答案】 【详解】，且，，又. ，. 故答案为： 知识点03 等比数列的常用性质 （1）如果,则有 （2）如果,则有 （3）若成等比数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 【即学即练】 5．等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 【答案】A 【详解】由等比数列的性质可得，故. 故选：A. 6．已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立， 当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立. 综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：A 题型01 等比数列的通项与基本量 【例1】在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，， 两式相除可得，即，解得. 所以，解得． 故选：B 【例2】已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【详解】由题可知，，得，解得或（舍去）. 设等比数列的公比为，则由，可得， 整理得，得或（舍去）， 则. 故选：D. 【变式1-1】已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 【答案】A 【详解】设等比数列公比为，则. 由题可得，则. 故选：A 【变式1-2】设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】因为数列是公比为q的等比数列，，且数列的连续四项构成集合， 则数列的连续四项为递增数列，为3，9，27，81， 可知数列的连续四项为，所以公比. 故选：B. 【变式1-3】等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由题知，令等差数列的公差为， 由，解得， 所以数列的通项公式， 前项和. （2）令等比数列的公比为， 则，解得， 因为，所以， 所以数列的通项公式. （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 题型02 等比数列的判断与证明 【例3】已知数列的首项，且满足.证明：数列为等比数列； 【答案】证明见解析 【详解】由得， 则，又， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列. 【例4】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得：， . 【变式2-1】已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 【变式2-2】已知正项数列满足：.证明是等比数列，并求通项； 【答案】证明见解析； 【详解】由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. 【变式2-3】已知数列中，，.求证：数列是等比数列. 【答案】证明见解析 【详解】因为，则， 且，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列. 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 题型03 等比中项及其应用 【例5】在等差数列中，公差，，下列说法正确的是（   ） A．是与的等比中项 B．是与的等比中项 C．是与的等比中项 D．是与的等比中项 【答案】A 【详解】因为，得到，所以 对于选项A，因为，，，又，所以， 则，，构成等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，，又，但，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，，所以，，不构成等比数列，故选项C错误， 对于选项D，因为，，，又，但，所以选项D错误， 故选：A. 【例6】已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则（    ） A．64 B．60 C．56 D．48 【答案】A 【详解】因为，，成等比数列，则 ， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 【变式3-1】已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（   ） A．平均数是30%分位数和极差的等比中项 B．30%分位数是平均数和极差的等比中项 C．平均数是30%分位数和极差的等差中项 D．30%分位数是平均数和极差的等差中项 【答案】A 【详解】因为5×30%=1.5，所以该组数据的30%分位数为2， 因为该组数据的平均数为，极差为， 所以该组数据的平均数是30%分位数和极差的等比中项， 故选：A. 【变式3-2】已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：，，故可得； 根据等比数列下标和性质，，解得， 设的公比为，则，故. 故选：B. 【变式3-3】设正项数列是它的前项之和，对于任意正整数与2的等差中项等于与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题意知，即． 由得，从而解得． 又由上式可得， 其中， 整理得． 因，，故， 因为，所以数列是以2为首项、4为公差的等差数列， 其通项公式为， 故答案为：． 由等比中项的定义可知,所以只有同号时, 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. 题型04 利用等比数列的性质计算 【例7】在等比数列中，若，则（   ） A．2 B．4 C．16 D．64 【答案】C 【详解】数列为等比数列，则， ，所以， 所以， 故选：C 【例8】若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【详解】，故，解得， 故． 故答案为：112 【变式4-1】已知正项数列满足，且，则（   ） A．6 B．42 C．80 D．84 【答案】D 【详解】因为， 所以，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，所以， 则， 故选：D. 【变式4-2】（多选）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 【变式4-3】已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由等比数列单调递减，各项均为正数，设等比数列的公比为，则， 若，根据等比数列的性质，可得，解得， 又由且，因为且，所以， 此时与无法比较，所以不能推出有唯一的最大值，所以充分性不成立； 反之：若有唯一的最大值，可得， 因为，所以， 根据等比数列的性质，知，所以成立，即必要性成立， 综上可得，是有唯一的最大值的必要不充分条件. 故选：B. 题型05 等比数列的单调性与最值 【例9】若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立； 必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立， 故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【例10】（多选）公差为的等差数列与公比为的等比数列首项相同且为正数，则（   ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递减数列 C．若，则为递增数列 D．若，则为递增数列 【答案】ABD 【详解】对于A，若，则，为递减数列，故A正确； 对于B，若，则，为递减数列，故B正确； 对于C，取，此时，不满足递增数列，故C错误； 对于D，因为，当时，等比数列为正项且， 当时，等差数列各项为正且递增，即， 所以，即为递增数列，故D正确； 故选：ABD． 【变式5-1】（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 【变式5-2】公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，则的单调性为 （填“单调递增”“单调递减”“不单调”）；当 时，取得最大值. 【答案】 单调递增 2022 【详解】若，则，不合题意，所以， 又因为，所以，所以为单调递增数列， 因为，所以，所以， 故均大于1，并且从第2023项起， 所以是数列中的最大项. 故答案为：单调递增；. 【变式5-3】数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【分析】 【详解】（1）由，得，即， 整理得：，又， 所以，即， 又，故是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1） ，设， 则， 当，2时，； 当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 题型06 等比数列中的对称设元 【例11】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（    ） A．28 B．26 C．24 D．20 【答案】A 【详解】依题意，设这四个数分别为， 则，解得或， 所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28． 故选：A． 【例12】在320与5之间插入5个数，使这7个数成等比数列，求所插入的5个数． 【答案】160、80、40、20、10或、80、、20、． 【详解】设此数列为，公比为， 则，， 所以插入的5个数为160、80、40、20、10或、80、、20、． 【变式6-1】在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 . 【答案】27 【分析】 【详解】依题意，，所以，所以或（舍去）， 所以. 故答案为： 【变式6-2】已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则 【答案】 【详解】设数列的公差为，由题意易得， 由成等比数列得，且和的符号相同， 解得，所以， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，属于基础题. 【变式6-3】依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数. 【答案】. 【详解】设四个数分别为a，b，c，d， 则，，，， 将代入得：， 将，代入得：， 将，代入得： ， 解得：或2， 当时，则，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去； 当时，解得：，，，故满足要求， 故这四个数为1,2,4,6. 若三个数成等比数列设为，推广到一般:奇数个数成等比数列设为: 若四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为 题型07 等比数列中插入数 【例13】已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由 因为，解得或（舍去）， 所以，所以数列的通项公式为； （2）因为，，由题意得：， 即，所以． 【例14】已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则， 又， 所以，所以， 所以． 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列， 则， 即， 则． （2）不存在，理由如下： 假设在数列中存在三项，，成等比数列， 则， 即，即． 因为， 所以， 即， 即， 联立 解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在三项，，成等比数列． 【变式7-1】（多选）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项，之间插入个数，使到这个数构成第个等差数列，则（   ） A． B．第个等差数列的公差为 C．第8个等差数列的所有项的和为 D．是第15个等差数列中的第9项 【答案】ABD 【详解】对于A，等比数列的首项，公比，故，故A正确， 对于B，第个等差数列为，之间插入个数得到的数列， 公差为，故B正确， 对于C，第8个等差数列为之间插入8个数得到的等差数列， 故所有项的和为，故C错误， 对于D，第15个等差数列为之间插入15个数得到的等差数列， 故第9项为，故D正确， 故选：ABD 【变式7-2】已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)39 【分析】 【详解】（1）因为，则， 且，可得， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得：，则， 由题意可得：，， 即，解得，所以的值为39. 【变式7-3】已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，在和之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，数列中是否存在三项，且成等差数列）成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为，当时，， 两式相减得， 即， 当时，，所以， 因为，所以，满足 所以是以2为首项，为公比的等比数列，， （2）由（1）可知， 因为，所以 假设在数列中存在三项成等差数列）成等比数列， 则，即，化简得 因为成等差数列，所以，从而（*）可以化简为 联立，可得，这与题设矛盾. 所以数列中不存在三项成等差数列）成等比数列. 题型08 等比数列的实际应用 【例15】生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设需提供的能量为a，由题意知：的能量为，的能量为，的能量为， 即，解得：， 所以要能使获得的能量，则需提供的能量为. 故选：C. 【例16】朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【答案】C 【详解】设13个单音的频率依次组成等比数列，公比为， 已知，所以，得，即； 第十个单音，第四个单音，两式相除得， 所以，与最接近的是. 故选：C. 【变式8-1】某公园有4条同心圆环步道，其长度构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为 ． 【答案】960 【详解】设这条同心圆环步道的长度构成的等比数列为，公比，首项为（），根据等比数列通项公式，可得. 因为越大，的值越大，所以最短步道为，最长步道为.可得. 已知最长步道与最短步道之差为，即，联立解得， ，即最长步道为. 故答案为：960. 【变式8-2】如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【答案】 / 【详解】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边长为； 设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为， 故答案为：；． 【变式8-3】1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 【答案】最初至少有3121个，最后至少剩下1020个. 【详解】设最初的桃子数为，5只猴子分剩的桃子数依次为， 由题意得     ①， 设， 即， 对照①式，得，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以，即． 由于为整数，所以的最小值为， 所以的最小值为． 即最初至少有3121个桃子，从而最后至少剩下（个）桃子． 一、单选题 1．若成等比数列，且公比为，则的公比为（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【详解】因为成等比数列，且公比为，所以， 所以，所以的公比为， 故选：A 2．已知实数，a，b，c，成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D． 【答案】A 【详解】由题意得,，， 又奇数项的符号相同，所以，则， 故. 故选：A 3．已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由有：， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：A. 4．已知等比数列满足，且，则（   ） A．24 B．或24 C． D．或 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， ，，，，， 当时，； 当时，. 的值为或. 故选：B. 5．已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B 6．设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，所以， 当且仅当，即时取等号，此时. 故选：D. 7．已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 由，，则， 因为函数在上单调递增，且时，，可得， 又，则，且数列为递减数列， 则取得最大值时的值为10或11. 故选：D. 8．已知数列满足，，则（   ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】D 【详解】数列满足，可得，则有， 所以，又， 根据等比数列的定义可知，数列是首项为2公比为3的等比数列，D选项正确； 所以，，则有，，， ， ，不是等差数列，A选项错误； ，，不是等差数列，B选项错误； ，，不是等比数列，C选项错误. 故选：D. 二、多选题 9．已知数列满足为常数，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．，使得为等差数列 D．，使得中存在相邻三项成等比数列 【答案】AB 【详解】对于A，由，得为常数，是等差数列，A正确； 对于B，由为非0常数，是等比数列，B正确； 对于C，当时，若中存在为0的项，此时无意义，若不存在为0的项， 则不是常数， 即对任意非0常数，都不是常数，即数列不是等差数列，C错误； 对于D，若成等比数列，则，即， 整理得，解得，与矛盾， 因此，中不存在相邻三项成等比数列，D错误. 故选：AB 10．已知等差数列的通项公式是，则（    ） A．等差数列的公差 B．数列是递减数列 C．-100是数列中的某一项 D．数列一定是等比数列 【答案】BD 【详解】等差数列的公差故A错误； 因为，所以数列是递减数列，故B正确； 由得，所以-100不是数列中的某一项，故C错误； ，且，数列一定是等比数列，故D正确. 故选：BD. 11．在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 【答案】BC 【详解】设等比数列的公比为， 依题意，，解得，则，，BC正确，A错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误. 故选：BC 12．在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【详解】选项A：由可得，， 又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，A正确. 选项B：由可得，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，B正确. 选项C：由可得，，所以， 所以，，， 因为，所以数列不是等比数列，C错误. 选项D：由A知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，则 所以，又， 所以数列是首项为-2，公比为2的等比数列，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则 . 【答案】 【详解】由题意得，，，故，， 因为为等比数列，所以，解得， 又因为，，所以与同号，即， 故. 故答案为： . 14．已知数列是等比数列，依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又中任何两个都不在同一列，则 ． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 【答案】 【详解】观察题中的表格可知，，分别为，，， 即是首项为，公比为的等比数列，∴， 故答案为：． 15．已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为 . 【答案】8 【详解】为等比数列，且公比， 所以，可得， ，可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 所以，可得， 所以，可得， 解得，又， 所以使得成立的最大值为8. 故答案为：8. 四、解答题 16．已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，所以. （2）因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 17．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2)（） 【分析】 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： (） 18．设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；成等差数列. 【分析】 【详解】（1）证明： 因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以数列的首项是， 所以，则， 若中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理得：，即， 因为，所以，所以必为偶数， 所以，解得：，所以成等差数列. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $