专题02 数列中的递推（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题02 数列中的递推 教学目标 1．理解数列的定义与项、首项概念，掌握数列的分类及常见表示方法。 2．理解通项公式与递推公式含义，能区分二者异同并求数列指定项。 3．掌握数列前n项和定义，能运用an与Sn的关系式求数列通项。 4．认识数列的离散型函数本质，能根据定义判断数列的单调性类型。 教学重难点 重点：数列的基本概念、分类及表示方法，通项公式与递推公式的异同。 数列前n项和的定义，an与Sn的关系式及应用，数列单调性判断。 难点：灵活运用an与Sn的关系式，分情况求解数列的通项公式。 理解数列的离散型函数本质，根据递推公式推导数列的项。 知识点01 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 【即学即练】 1．已知数列满足，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，，，， 则. 故选：A. 2．数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】数列中，， . 故选：B 知识点02 数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 【即学即练】 3．若数列的前项和，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】数列的前项和，则. 故选：C. 4．设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】当时，， 当时，. 故选：D 知识点03 与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 【即学即练】 5．已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【详解】因为. 故选：D 6．已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 题型01 利用递推关系求数列的项 【例1】已知数列满足：，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，且，则， ，，， ，，， 故选：B. 【例2】正项数列中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】法一， 由递推关系式可知，， 法二， 不妨设， ，，， . 故选：B 【变式1-1】已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， ，，. 故选：B 【变式1-2】数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】由，所以，两个式子相除得， 所以数列是以2为周期的周期数列，且，所以. 故选：B 【变式1-3】（多选）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】数列 ，由 和 ， 得： 由， ，得数列周期为 ， ，故 A 正确； 由数列周期为 ，得，故 B 错误； 由数列周期为 ，，故 C 正确； 故 D 错误. 故选：AC 题型02 求数列的递推关系式 【例3】数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以， 故选：D 【例4】一点从起点出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走过的路线和点共有种走法，如，数列相邻三项的递推关系式为 ．    【答案】 【详解】解：，，， ，， 故， 即， 故答案为： 【变式2-1】数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是 ．又，则 ． 【答案】 n 78 【详解】由已知可得，，，，， 所以递推公式可以写成． 所以． 故答案为：，78 【变式2-2】分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）由，，， 故可得，递推公式为，，． （2）由，，， 所以，，． 【变式2-3】一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了 个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式 . 【答案】 【详解】图③中共挖掉了个， 设每次挖掉的正方形个数为， 根据图形得，，，，则， 则递推式为. 故答案为：；. 题型03 数列周期性的应用 【例5】已知数列满足，且，则 【答案】 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列，所以. 故答案为：. 【例6】在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则 . 【答案】3377 【详解】由，，，所以，解得， 同理由，，， 所以 所以数列是以3为周期的数列， 所以 ， 故答案为：3377. 【变式3-1】在数列中，，，则 . 【答案】/0.8 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 【变式3-2】数列满足，，则 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，， 观察数列项的规律，可以发现数列是周期为4的数列：， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】已知数列中，，，则数列前2025项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2025 D．4048 【答案】C 【详解】因为，， 所以，，，，，…， 所以数列是周期为的周期数列，且， 所以. 故选：C. 题型04 累加法求数列的通项公式 【例7】已知数列满足，，则 . 【答案】 【详解】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. 【例8】定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 【变式4-1】在数列中，，则 ． 【答案】4 【详解】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 【变式4-2】在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 【变式4-3】已知数列满足，，求． 【答案】， 【详解】因为， 所以． 所以 ． 又也符合上式，所以，． 累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 题型05 累乘法求数列的通项公式 【例9】已知数列中，，则 . 【答案】 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 【例10】已知数列满足，，求. 【答案】 【解析】由递推式利用累乘法求得通项公式． 【详解】∵，∴当时，， ∴， 检验，当时符合，∴． 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题方法是累乘法．在已知递推式时，常用累乘法求通项公式． 【变式5-1】已知数列中，，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】由得 ， 以上式子相乘得，又 ，又符合 故答案为：. 【变式5-2】已知，，求数列的通项． 【答案】 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 【变式5-3】在数列中，，则 . 【答案】 【详解】依题意，， 即， 所以 . 故答案为： 【点睛】累乘法求数列的通项公式，主要把握住. 累乘法：适用于，求 具体过程：，两边分别相乘得 题型06 已知Sn求通项公式an 【例11】已知数列的前n项和，前n项积记为，当取最大值时，n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】当时，， 又，符合上式，故， 又，故数列为递减数列， 又，故时，；时，， 故当取最大值时，n的值为4. 故选：C. 【例12】数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【详解】当时，, 当时，不满足上式， 故 故答案为: 【变式6-1】已知数列的前n项和为，则数列的前10项和为 ． 【答案】0 【详解】数列的前n项和为，数列的前10项和为. 故答案为：0. 【变式6-2】已知数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 故答案为：. 【变式6-3】已知数列的前项和，则当时， ． 【答案】 【详解】由数列的前项和， 当时，. 故答案为： 题型07 递推式含n项求通项公式an 【例13】若数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 【例14】已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式7-1】在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 【变式7-2】已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 【变式7-3】已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为数列为正项数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以 故选：D． 一、单选题 1．已知数列满足：，则数列的前4项和（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】由数列满足：，可得， 因为，可得，，， 所以. 故选：D. 2．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 所以. 故选：A 3．设数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】已知，则，， ，， 可见此数列为周期是3的周期数列， ， ，故D正确． 故选：D． 4．在数列中，，且，则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 【答案】A 【详解】由题意可得：，，，，， 各式相加可得， 因为，所以. 故选：A 5．若数列满足，则（    ） A．32 B．10 C． D． 【答案】C 【详解】因为①，当时，， 当时②， ①减②得，所以，当时也成立， 所以，所以. 故选：C 二、多选题 6．已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为 ，，所以 ，，，，依此类推可得数列是以3为周期的周期数列. 对于A，，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，， 又，则，故D错误. 故选：BC 7．已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　） A．数列的首项为 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 【答案】ABC 【详解】对于A，因为， 所以当时，，知A正确； 对于B，当时，， 当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确； 对于CD，， 所以数列为递减数列，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 8．已知数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，根据. 当时，上式也满足， 故 若，则， 但且仅当时取等号. 所以则的最小值为. 故答案为：. 9．已知数列满足，记数列的前n项和为，则 . 【答案】15 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 10．在数列中，，当时，，则 . 【答案】/ 【详解】，，为常数列， ， ，，，. 故答案为：. 11．已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)4，5，7，10，14，…； (2)7，9，11，13，15，…； (3)2，6，18，54，162，… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意知 ， ， ， ， ， 即， ， ， 该数列的第7项. （2）解：由题意知 ， ， 即， ， 该数列的第7项. （3）解， ， 即， ， 该数列的第7项. 13．（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）根据题意可得， ， ， ， ， ∴是周期为4的数列，于是. （2）根据题意，这个数列的前5项如下： ， 所以，， ， ， . 14．已知数列的前项和为． (1)求的最大值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. （2）当时，，所以， 当时，符合的情况， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列中的递推 教学目标 1．理解数列的定义与项、首项概念，掌握数列的分类及常见表示方法。 2．理解通项公式与递推公式含义，能区分二者异同并求数列指定项。 3．掌握数列前n项和定义，能运用an与Sn的关系式求数列通项。 4．认识数列的离散型函数本质，能根据定义判断数列的单调性类型。 教学重难点 重点：数列的基本概念、分类及表示方法，通项公式与递推公式的异同。 数列前n项和的定义，an与Sn的关系式及应用，数列单调性判断。 难点：灵活运用an与Sn的关系式，分情况求解数列的通项公式。 理解数列的离散型函数本质，根据递推公式推导数列的项。 知识点01 数列的递推公式 如果一个数列的_______两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的_______ 给出n的值,可求出数列中的_______ 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 【即学即练】 1．已知数列满足，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．7 2．数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 知识点02 数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从_______起到_______止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 【即学即练】 3．若数列的前项和，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 知识点03 与的关系式： ①当时，若_______，则的情况可并入时的通项； ②当时，若_______，则用_______的形式表示. 【即学即练】 5．已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型01 利用递推关系求数列的项 【例1】已知数列满足：，.则（   ） A． B． C． D． 【例2】正项数列中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式1-3】（多选）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 题型02 求数列的递推关系式 【例3】数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【例4】一点从起点出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走过的路线和点共有种走法，如，数列相邻三项的递推关系式为 ．    【变式2-1】数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是 ．又，则 ． 【变式2-2】分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 【变式2-3】一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了 个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式 . 题型03 数列周期性的应用 【例5】已知数列满足，且，则 【例6】在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则 . 【变式3-1】在数列中，，，则 . 【变式3-2】数列满足，，则 . 【变式3-3】已知数列中，，，则数列前2025项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2025 D．4048 题型04 累加法求数列的通项公式 【例7】已知数列满足，，则 . 【例8】定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【变式4-1】在数列中，，则 ． 【变式4-2】在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知数列满足，，求． 累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 题型05 累乘法求数列的通项公式 【例9】已知数列中，，则 . 【例10】已知数列满足，，求. 【变式5-1】已知数列中，，则数列的通项公式 . 【变式5-2】已知，，求数列的通项． 【变式5-3】在数列中，，则 . 累乘法：适用于，求 具体过程：，两边分别相乘得 题型06 已知Sn求通项公式an 【例11】已知数列的前n项和，前n项积记为，当取最大值时，n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例12】数列的前项和记为，若，则 . 【变式6-1】已知数列的前n项和为，则数列的前10项和为 ． 【变式6-2】已知数列的前项和为，且，则 ． 【变式6-3】已知数列的前项和，则当时， ． 题型07 递推式含n项求通项公式an 【例13】若数列满足，则数列的通项公式 . 【例14】已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【变式7-1】在数列中，，则的通项公式为 . 【变式7-2】已知数列满足，则的通项公式为 . 【变式7-3】已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 一、单选题 1．已知数列满足：，则数列的前4项和（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 3．设数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 4．在数列中，，且，则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 5．若数列满足，则（    ） A．32 B．10 C． D． 二、多选题 6．已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　） A．数列的首项为 B．数列的通项公式为 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 三、填空题 8．已知数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 9．已知数列满足，记数列的前n项和为，则 . 10．在数列中，，当时，，则 . 11．已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 四、解答题 12．分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)4，5，7，10，14，…； (2)7，9，11，13，15，…； (3)2，6，18，54，162，… 13．（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 14．已知数列的前项和为． (1)求的最大值； (2)求数列的通项公式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $