专题06 等比数列的前n项和（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题06 等比数列的前n项和 教学目标 1．掌握等比数列前n项和的两类核心公式，能根据已知量（首项、公比、末项）灵活选用公式计算。 2．理解等比数列前n项和的函数特征，明确q取不同值时Sn对应的函数类型及图象特征。 3．知晓等比数列前n项和的相关性质，能运用性质解决简单的数列计算与推理问题。 建立Sn与通项an的关联认知，理解二者间的一次函数关系及推导逻辑。 教学重难点 重点： 掌握等比数列前n项和公式及应用，理解Sn的函数特征与核心性质。 难点： 理解Sn的指数型函数特征，掌握Sn与an的关系推导及性质灵活运用。 知识点01 等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 【即学即练】 1．已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 2．设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．4 C．8 D．16 知识点02 等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的______（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的______函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的______函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成______关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 【即学即练】 3．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为 . 4．记为数列的前项和.若，则 . 知识点03 等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则______;若项数为,则.______ （2）若等比数列的前项和为,则成______数列(其中均不为,公比为______. 【即学即练】 5．等比数列中，是其前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．或 6．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 题型01 等比数列前n项和基本量的计算 【例1】记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【例2】记两个等比数列的前项和分别为，公比分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】设 是等比数列 的前 项之和， 成等差数列，则 （ ） A． B． C．2 D．3 【变式1-2】已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则 ． 【变式1-3】记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．2 （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类 题型02 等比数列片段和问题 【例3】若数列的前n项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，则，，为等差数列 B．若数列为等比数列，则，，为等比数列 C．若数列为等差数列，则，，为等差数列 D．若数列为等比数列，则，，为等比数列 【例4】已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 【变式2-1】已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为 . 【变式2-3】已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为 ． （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用.讨论. 题型03 等比数列奇偶项和的性质 【例5】已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例6】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-1】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【变式3-2】已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【变式3-3】等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比 . 等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 题型04 等比数列中Sn与an的关系 【例7】已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【例8】（多选）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的有（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【变式4-1】已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为 . 【变式4-3】已知数列中，前n项的和为，且 (1)求数列的通项公式； 若公比与成一次函数关系（即，、为常数） 题型05 等比数列中Sn与n的关系 【例9】已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【例10】已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】记为等比数列的前项和，若（为常数），则 ． 【变式5-2】已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 . 【变式5-3】设公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，则=（   ） A．55 B．65 C． D． 当时，关于成正比例函数（为常数）； 当且时，是关于的指数型函数 题型06 等比数列前n项和的实际应用 【例11】一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是 m． 【例12】（多选）某同学暑假抽出最多15天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付60元；第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．假设该同学工作天，则下列选项正确的是（   ） A．按第二种方案得到的劳动总报酬为 B．按第三种方案得到的劳动总报酬为 C．若，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多 D．若，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多 【变式6-1】按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 . 【变式6-2】（多选）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（   ） A．第5轮新增感染人数为243 B．由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C．感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D．感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 【变式6-3】（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米．要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶递，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则（    ）（参考数据：，，，） A．小吉到达最高峰的时间比小明早 B．小明到达最高峰的时间比小吉早 C．小吉登上最高峰所需时间多于分钟 D．两人到达最高峰的时间差距超过分钟 题型07 分组求和法 【例13】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【例14】已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【变式7-1】已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．107 B．169 C．1389 D．1409 【变式7-2】已知等差数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【变式7-3】已知等比数列的前项和． (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型08 错位相减法 【例15】已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【例16】已知数列的前项和. (1)证明：； (2)若，求数列的前项和. 【变式8-1】已知等比数列中，，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式8-2】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【变式8-3】已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 一、单选题 1．已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．51 B． C．-13 D．85 2．已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．已知正项数列满足，则数列的前4项和（    ） A．102 B．96 C．120 D．140 5．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 6．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 7．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．设等比数列的公比，且，，则 . 12．已知，，记，则数列的前项和 . 13．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为（单位：辆），其中.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃置的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则该地区截止3月底公交车总数量为 辆；到第 月月底时，公交车总数量超过1000台，且全部为新能源公交车. 四、解答题 14．设数列的前项的和为. (1)若是等比数列，且，，求； (2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 15．已知等差数列和等比数列满足：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前10项和． 16．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等比数列的前n项和 教学目标 1．掌握等比数列前n项和的两类核心公式，能根据已知量（首项、公比、末项）灵活选用公式计算。 2．理解等比数列前n项和的函数特征，明确q取不同值时Sn对应的函数类型及图象特征。 3．知晓等比数列前n项和的相关性质，能运用性质解决简单的数列计算与推理问题。 建立Sn与通项an的关联认知，理解二者间的一次函数关系及推导逻辑。 教学重难点 重点： 掌握等比数列前n项和公式及应用，理解Sn的函数特征与核心性质。 难点： 理解Sn的指数型函数特征，掌握Sn与an的关系推导及性质灵活运用。 知识点01 等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 【即学即练】 1．已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 2．设是等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】A 【详解】设公比为， 因为，故，而，故，故， 故选：A. 知识点02 等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的孤立点（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的正比例函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的指数型函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成一次函数关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 【即学即练】 3．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为 . 【答案】1 【详解】当时，，当时，， 所以， 又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列， 此数列的前项和，则的值为. 故答案为：1. 4．记为数列的前项和.若，则 . 【答案】 【详解】，令得当时，， 两式相减可得 数列是首项为，公比为2的等比数列， . 故答案为：. 知识点03 等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则. （2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为. 【即学即练】 5．等比数列中，是其前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．或 【答案】A 【详解】因为，，， 又因为， 所以为公比为的等比数列， 所以； 故选：A. 6．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 题型01 等比数列前n项和基本量的计算 【例1】记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）. 故选：D 【例2】记两个等比数列的前项和分别为，公比分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为两个等比数列的前项和分别为，公比分别为， 所以，化简得. 解得或，因为等比数列的公比不为0，所以. 故选：B. 【变式1-1】设 是等比数列 的前 项之和， 成等差数列，则 （ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 当时，，所以. 此时，所以. 那么，因为 成等差数列， 所以，所以有， 化简得，由于，所以解得，又， 所以，所以. 故选：C. 【变式1-2】已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则 ． 【答案】 【详解】当等比数列的公比为1时，，不合题意； 所以公比，可得， 可得，即； 所以. 故答案为： 【变式1-3】记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．2 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以不成立，故不符合题意； 当时， ， 因为，所以，或舍去， ， 因为，所以，且， 所以，所以， 因为且， 所以. 故选：B （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类 题型02 等比数列片段和问题 【例3】若数列的前n项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，则，，为等差数列 B．若数列为等比数列，则，，为等比数列 C．若数列为等差数列，则，，为等差数列 D．若数列为等比数列，则，，为等比数列 【答案】C 【详解】对于A，C，设等差数列的首项为，公差为， 所以. 所以，. 所以，则，，不为等差数列，所以A错误； ，. 所以，. 所以，所以，，为等差数列，C正确； 对于B，当等比数列的公比时，. 由于等比数列的项不能为0，所以，，不为等比数列，B错误； 对于D，当等比数列的公比时，. 由于等比数列的项不能为0，所以，，不为等比数列，D错误； 故选：C. 【例4】已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 【答案】A 【详解】设的公比为q，则， 所以，又， 所以，解得或（舍）， 所以， 故选：A． 【变式2-1】已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是等比数列，设首项是，公比为， ，，， 当时，， 令，且，则 ， ， 选项A：，，且， ，故不恒成立，故A错误； 选项B：，， 不恒成立，故B错误； 选项C：当时，，， ， 当时，， ，故， 综上，恒成立，故C正确； 选项D：， 不成立，故D错误． 故选：C． 【变式2-2】已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为 . 【答案】4 【详解】由正项等比数列满足， 当等比数列的公比时，，解得， 则，，故不满足题意； 所以，根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得或（舍去）． 故答案为：4. 【变式2-3】已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意知、、成等比数列，所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值． 故答案为：. （1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用.讨论. 题型03 等比数列奇偶项和的性质 【例5】已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即， 因为，所以， 则， 即，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 【例6】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【变式3-1】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 【变式3-2】已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 【变式3-3】等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比 . 【答案】/ 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 题型04 等比数列中Sn与an的关系 【例7】已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C 【例8】（多选）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的有（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：令，得，则，故A正确； 对于B：，当时，有，两式相减， 得，整理得， 又因为，故是以为首项，为公比的等比数列， 即，易知是递减数列，故B错误； 对于C：由B可知，，故C正确； 对于D：将代入，可得，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-1】已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由于随n的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，. 故选：C 【变式4-2】已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为 . 【答案】2047 【详解】由题意得，当时，， 所以， 由，得，所以是公比为2且首项为1的等比数列， 所以， 由得，即，所以和为. 故答案为：2047. 【变式4-3】已知数列中，前n项的和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)如果恒成立，求最小值. 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）①，②， ①-②得，即 所以数列是以为公比的等比数列， 又，即， 所以 （2）， 则 所以， 两式相减，得 得 所以， 解不等式得 若公比与成一次函数关系（即，、为常数） 题型05 等比数列中Sn与n的关系 【例9】已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 【例10】已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 【变式5-1】记为等比数列的前项和，若（为常数），则 ． 【答案】2 【详解】因为，所以， ， 因为为等比数列， 所以，即，解得. 故答案为：2 【变式5-2】已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以，，因为为等比数列，所以， 即，解得或0（舍去）， 所以，，公比，所以. 故答案为：. 【变式5-3】设公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，则=（   ） A．55 B．65 C． D． 【答案】C 【详解】由已知，分别令， 得，，， 则， 因为为公比不为1的等比数列， 则，所以有， 即，解得，或. 由等比数列各项均不为，可知，则. 验证：当时，， 当时，； 当时，； 当时也适合上式，故， 则，故是公比为的等比数列，满足题意. 因此. 故选：C. 当时，关于成正比例函数（为常数）； 当且时，是关于的指数型函数 题型06 等比数列前n项和的实际应用 【例11】一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是 m． 【答案】92 【详解】依题意，5次落地的路程分别为：，，，，， 第2项至第5项是首项为32，公比为的等比数列， 所以总路程. 故答案为：92 【例12】（多选）某同学暑假抽出最多15天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付60元；第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）．假设该同学工作天，则下列选项正确的是（   ） A．按第二种方案得到的劳动总报酬为 B．按第三种方案得到的劳动总报酬为 C．若，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多 D．若，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多 【答案】ACD 【详解】第一种，每天支付60元，则按第一种方案得到的劳动总报酬为； 第二种，第1天付6元，从第2天起，每一天比前一天多付6元；则每天的报酬构成首项为，公差为的等差数列， 则按第二种方案得到的劳动总报酬为，即A正确； 第三种，第一天付0.2元，以后每天比前一天翻一番（即增加1倍）， 则每天的报酬构成首项为，公比为的等比数列， 则按第三种方案得到的劳动总报酬为，即B不正确． 因为，，， 所以若，则选择第一种方案得到的劳动总报酬最多，故C正确． 因为， 所以选择第三种方案得到的劳动总报酬最多，故D正确． 故选：ACD. 【变式6-1】按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 . 【答案】8 【详解】依题意1张A0规格的纸张可以裁剪出2张A1规格的纸张，或4张A2规格的纸张，或16张A4规格的纸张, 设一张A0规格的纸张的面积为， 则一张A1规格的纸张的面积为，一张A2规格的纸张面积为，一张A4规格的纸张面积为； 依题意共需要的纸张面积为， 所以至少提供8张A0规格的纸张， 其中将3张A0规格的纸张裁成5张A1和2张A2，将2张A0规格的纸张裁成8张A2， 将剩下的3张A0规格的纸张裁成48张A4规格， 共可以裁出A4规格纸张48张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张. 故答案为：8 【变式6-2】（多选）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（   ） A．第5轮新增感染人数为243 B．由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C．感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D．感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 【答案】ACD 【详解】设第轮感染人数为， 由题意可知数列为等比数列，其首项，公比， 所以， 对于A,当时，，故A正确； 对于B，由题意可得， 所以由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为，故B错误； 对于C，由B可知由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为， 令， 得， 又因为，， 又， 所以， 即感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染，故C正确； 对于D，令， 得， 因为，， 所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要7轮，约需要天，故D正确. 故选:ACD. 【变式6-3】（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米．要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶递，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则（    ）（参考数据：，，，） A．小吉到达最高峰的时间比小明早 B．小明到达最高峰的时间比小吉早 C．小吉登上最高峰所需时间多于分钟 D．两人到达最高峰的时间差距超过分钟 【答案】AC 【详解】记第个分钟小明和小吉走的级数分别为、， 则由题意可知，，且，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 且是以为首项，为公比的等比数列， 所以且， 所以数列和前项和分别为： ， ， 所以，， 而，故第个分钟小明每分钟走的级数为， 所以小明登上最高峰所需时间为分； 因为， ， 而，故第个分钟小吉每分钟走的级数为， 所以小吉登上最高峰所需时间为分， 且分，， 所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过分钟，小吉登上最高峰所需时间多于分钟. 故选：AC. 题型07 分组求和法 【例13】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 【例14】已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 所以. 【变式7-1】已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．107 B．169 C．1389 D．1409 【答案】D 【详解】依题意，. 故选：D 【变式7-2】已知等差数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，则， 可得，即； 且符合上式，所以. （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，可得， 所以. 【变式7-3】已知等比数列的前项和． (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，，， 因为是等比数列，所以， 即，解得，故． 当时，， 当时，满足上式，故． （2）由（1）得，则， 则 . 题型08 错位相减法 【例15】已知数列的前项和为，且满足． (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 【例16】已知数列的前项和. (1)证明：； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时，， 由于，故对，， 所以，而， 故； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得， 故. 【变式8-1】已知等比数列中，，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 又，所以； （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 【变式8-2】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 【变式8-3】已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，，又， 所以，解得， 所以； （2）因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 一、单选题 1．已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．51 B． C．-13 D．85 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，解得， 所以. 故选：A 2．已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】依题意，，， 由，得，整理得，则， 所以. 故选：B 3．等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 4．已知正项数列满足，则数列的前4项和（    ） A．102 B．96 C．120 D．140 【答案】C 【详解】因为满足，所以. 因为，所以. 因为，所以是以3为首项，以3为公比的等比数列， 所以. 故选：C. 5．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【详解】对于A，因为数列是递增的等比数列，且， 所以，即， 联立得 ，解得或（舍去）， 则，，故A错误； 对于B，则，故错误； 对于C，易知，则， ， 两式相减得， ，则，故正确； 对于D，易知，则， 所以是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以， 易知是单调递增，且当时，，故错误； 故选：C 6．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 7．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 8．已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列是公比为3的等比数列， 所以， 因此数列的奇数项和偶数项都是以为公比的等比数列， 所以数列的前20项和为： . 故选：A 二、多选题 9．记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A、B，由，解得，故A、B正确； 对于C：，故C错误； 对于D： ，D正确； 故选：ABD. 10．已知数列的前项和为，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，B，由，可得， 因为，，，所以， 解得，故A正确，B错误； 对于C，由A，B选项的分析可得：，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 即，所以， 则，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 11．设等比数列的公比，且，，则 . 【答案】 【详解】，， 则， 因为，解得：. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 12．已知，，记，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】由三角函数知：， 所以 ， 数列是首项为 、公比为 的等比数列， 所以数列的前 项和 . 故答案为： 13．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025年1月开始逐步将本地1000辆燃油公交车替换为新能源公交车.记第个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为（单位：辆），其中.从2025年2月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10辆，每月弃置的燃油公交车数量为上一个月的2倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0则不再弃置.则该地区截止3月底公交车总数量为 辆；到第 月月底时，公交车总数量超过1000台，且全部为新能源公交车. 【答案】 【详解】投入的新能源公交车数量构成等差数列， 首项，公差，故，， 前3项和为. 弃置的燃油公交车数量构成等比数列，首项，公比， 故，，前3项和为. 截止3月底公交车总数为. 设第月底满足条件，等差数列前项和为. 等比数列前项和为， 当时，，剩余燃油； 时弃置370辆，燃油全部弃置. 由，得， 解得，故. 故答案为：1110；11. 四、解答题 14．设数列的前项的和为. (1)若是等比数列，且，，求； (2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为. 因为，所以， 所以，， 则，整理得，解得，所以. 所以. （2）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以. 15．已知等差数列和等比数列满足：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设的公差为d，的公比为q． 由题知，消元得：，解得或（舍）， 所以 即． （2）因为． 所以． 16．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设的公比为，则， 因为，所以，则， 则，即， 整理得，解得或（舍去），则， 所以． （2）由（1）可知， 故 ， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故随着的增大而增大， 又， ， 所以满足的最大整数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $