1.3 二次根式的运算（知识梳理+5题型突破）2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

1.3 二次根式的运算 基础知识梳理 1. 二次根式的乘法 法则：， 逆用：，，用于化简。 2. 二次根式的除法 法则：， 逆用：，，用于化简或分母有理化。 3. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 常用方法： ， ， 4. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 例如：、、 是同类二次根式。 5. 二次根式的加减运算 步骤： 化：将每个二次根式化为最简二次根式； 找：找出其中的同类二次根式； 并：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）。 6. 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律同样适用。 典例精讲 典例1：二次根式的乘法 题目：计算：(1) ；(2) 。 变式1计算：(1) ；(2) 。 典例2：二次根式的除法 题目：计算：(1) ；(2) 。 变式2计算：(1) ；(2) 。 典例3：分母有理化 题目：将下列式子分母有理化：(1) ；(2) 。 变式2计算：(1) ；(2) 。 典例4：二次根式的加减运算 题目：计算：。 变式4计算：。 典例5：二次根式的混合运算 题目：计算：。 变式5计算：。 典例6：已知字母的值，化简求值 题目：已知 ，求代数式 的值。 变式6已知 ，求代数式 的值。 典例7：比较二次根式的大小 题目：比较 和 的大小。 变式7比较 和 的大小。 【核心技巧】 · 二次根式乘除：先利用法则合并为一个根式，化简后再计算；或先化简再乘除。 · 加减运算：先化最简，再合并同类二次根式，非同类不能合并。 · 混合运算：优先使用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算，再按顺序运算。 · 比较大小：常用平方法或化为同根号法，注意前提是两个数均为正数。 【易错提醒】 · 误区1：在乘除运算中忽略被开方数非负的前提，如 。 · 误区2：加减运算中直接将被开方数相加，如 。 · 误区3：分母有理化时漏乘分子，如 ，而是 。 · 误区4：在 中直接写成 ，正确的是 。 题型一 二次根式的乘除法 1．（2025春•龙口市校级期中）把根号外面的因式移到根号内得（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•西固区校级期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B．22 C．（）2＝9 D． 3．（2025春•龙马潭区校级期中）给出四个算式： （1）3412；（2）5•55；（3）2•36；（4）7． 其中正确的算式有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（2025秋•阳城县期末）计算：　 ． 5．（2025春•商南县期末）设a，b，请用含有a、b的式子表示　 ． 6．（2025秋•顺义区校级期中）若成立，则x满足的条件是 　 ． 7．（2025春•岳西县月考）计算： （1）； （2）． 8．（2025春•绥棱县期末）已知：，．求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣xy+y2． 9．你能找到规律吗？ （1）计算： ；　6　 ； ；　 ； （2）由（1）的结果猜想：　 （a≥0，b≥0）； （3）请按照找到的规律计算： ①； ②． （4）已知：，则 ．（用含a、b的式子表示） 题型二 二次根式的加减法 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•凤庆县校级期末）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．②③ D．①③ 3．（2025秋•滨海新区校级期末）计算：12　 ． 4．（2025春•海淀区校级期中）计算： （1）3； （2）． 5．（2025春•黄陂区月考）计算： （1）234； （2）263． 题型三 二次根式的混合运算 1．（2025秋•长宁县期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•宿州期末）计算：（） ． 3．（2025秋•东营期末）计算下列各式： （1）； （2）． 4．（2025秋•玉田县期末）下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 ＝5﹣1…第二步 ＝4…第三步 （1）嘉嘉的解题过程从第　 步开始错误，正确的计算结果是　 ； （2）计算：． 题型四 二次根式的化简求值 1．（2025秋•松江区期末）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 2．已知，则代数式x2﹣2xy+y2的值为（　　） A．28 B．20 C． D． 3．（2025春•朝阳区校级期末）已知，，则 等于（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2025秋•澧县期末）先化简，再求值：，其中． 5．（2025秋•长宁区期中）先化简，再求值：，其中． 6．已知，，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）． 7．求代数式的值，其中a＝10．如图是小明和小颖的解答过程： （1）填空： 的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中a＝﹣2024． 8．（2025秋•红谷滩区校级期末）阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9 乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19 （1）你认为 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：　 ； （2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m． 9．（2025秋•义乌市校级期中）【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　 ，的小数部分是 　 ； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 10．（2025春•湖北期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 题型五 二次根式的应用 1．（2025秋•桂林期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 2．（2025秋•下花园区期末）一个长方形一组邻边的长度和为，长为，这个长方形的面积为 ． 3．（2025春•蔡甸区校级月考）一个三角形的三边长分别为，，． （1）求该三角形的周长； （2）请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 4．（2025秋•阳城县期末）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为m，宽AB为m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（1）m，宽为（1）m． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 5．（2025春•青山湖区期中）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 6．（2025秋•桂林期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ① ； ② ± ）2（a≥0，b≥0）． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 二次根式的运算 基础知识梳理 1. 二次根式的乘法 法则：， 逆用：，，用于化简。 2. 二次根式的除法 法则：， 逆用：，，用于化简或分母有理化。 3. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 常用方法： ， ， 4. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 例如：、、 是同类二次根式。 5. 二次根式的加减运算 步骤： 化：将每个二次根式化为最简二次根式； 找：找出其中的同类二次根式； 并：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）。 6. 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律同样适用。 典例精讲 典例1：二次根式的乘法 题目：计算：(1) ；(2) 。 【解析】(1) 利用乘法法则： (2) 先判断被开方数符号，再用法则： 注意：不能直接拆分为 ，被开方数必须非负。 【答案】(1) ；(2) 。 变式1计算：(1) ；(2) 。 【解析】(1) (2) 【答案】(1) ；(2) 。 典例2：二次根式的除法 题目：计算：(1) ；(2) 。 【解析】(1) 利用除法法则： (2) 利用逆用除法法则： 【答案】(1) ；(2) 。 变式2计算：(1) ；(2) 。 【解析】(1) (2) 【答案】(1) ；(2) 。 典例3：分母有理化 题目：将下列式子分母有理化：(1) ；(2) 。 【解析】(1) 分子分母同乘 ： (2) 分子分母同乘 ，利用平方差公式： 【答案】(1) ；(2) 。 变式2计算：(1) ；(2) 。 【解析】(1) (2) 【答案】(1) ；(2) 。 典例4：二次根式的加减运算 题目：计算：。 【解析】化：，； 找：、、 是同类二次根式； 并：。 【答案】。 变式4计算：。 【解析】化：，； 找：、、 是同类二次根式； 并：。 【答案】。 典例5：二次根式的混合运算 题目：计算：。 【解析】先算乘法，利用平方差公式： 再化简根式：，； 最后加减：。 【答案】。 变式5计算：。 【解析】先算平方，利用完全平方公式： 再化简根式：，； 最后加减：（无同类二次根式，无法合并）。 【答案】。 典例6：已知字母的值，化简求值 题目：已知 ，求代数式 的值。 【解析】先化简代数式： 代入 ： 【答案】。 变式6已知 ，求代数式 的值。 【解析】先化简代数式： 代入 ： 【答案】。 典例7：比较二次根式的大小 题目：比较 和 的大小。 【解析】方法一：平方法 因为 ，且 ，，所以 。 方法二：化为同根号 因为 ，所以。 【答案】。 变式7比较 和 的大小。 【解析】平方法： 因为 ，且 ，，所以 。 【答案】。 【核心技巧】 · 二次根式乘除：先利用法则合并为一个根式，化简后再计算；或先化简再乘除。 · 加减运算：先化最简，再合并同类二次根式，非同类不能合并。 · 混合运算：优先使用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算，再按顺序运算。 · 比较大小：常用平方法或化为同根号法，注意前提是两个数均为正数。 【易错提醒】 · 误区1：在乘除运算中忽略被开方数非负的前提，如 。 · 误区2：加减运算中直接将被开方数相加，如 。 · 误区3：分母有理化时漏乘分子，如 ，而是 。 · 误区4：在 中直接写成 ，正确的是 。 题型一 二次根式的乘除法 1．（2025春•龙口市校级期中）把根号外面的因式移到根号内得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，可知x﹣1＞0，则1﹣x＜0，再根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x﹣1＞0，则1﹣x＜0， ∴原式＝﹣（x﹣1） ． 故选：D． 2．（2025秋•西固区校级期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B．22 C．（）2＝9 D． 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：A．，故此选项符合题意； B．21，故此选项不合题意； C．（）2＝9，故此选项不合题意； D．3，故此选项不合题意． 故选：A． 3．（2025春•龙马潭区校级期中）给出四个算式： （1）3412；（2）5•55；（3）2•36；（4）7． 其中正确的算式有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项． 【解答】解：（1）3424，故本项错误； （2）5•525，故本项错误； （3）2•36，故本项正确； （4）7，故本项错误． 正确的只有（3）． 故选：C． 4．（2025秋•阳城县期末）计算：　4　 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【解答】解：原式 ＝4． 故答案为：4． 5．（2025春•商南县期末）设a，b，请用含有a、b的式子表示　3ab ． 【答案】3ab 【分析】把化简成含，的式子，再表示出来． 【解答】解：∵3，a，b， ∴3ab． 6．（2025秋•顺义区校级期中）若成立，则x满足的条件是 　2≤x＜3　 ． 【答案】2≤x＜3 【分析】根据二次根式的乘法法则的条件求x的范围． 【解答】解：∵成立 ∴，解得2≤x＜3． 7．（2025春•岳西县月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ． 8．（2025春•绥棱县期末）已知：，．求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣xy+y2． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x，y， ∴xy＝（）×（） ＝（）2﹣（）2 ＝7﹣5 ＝2； （2）∵x，y， ∴x+y＝（）+（）＝2， ∵xy＝2， ∴x2﹣xy+y2 ＝x2+2xy+y2﹣2xy﹣xy ＝（x+y）2﹣3xy ＝（2）2﹣3×2 ＝28﹣6 ＝22． 9．你能找到规律吗？ （1）计算：　6　 ；　6　 ；　20　 ；　20　 ； （2）由（1）的结果猜想：　　 （a≥0，b≥0）； （3）请按照找到的规律计算： ①； ②． （4）已知：，则a2b ．（用含a、b的式子表示） 【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）由（1）的规律得出（a≥0，b≥0）； （3）根据（2）的结论即可求解； （4）利用（2）的结论的逆运算即可求解． 【解答】解：（1）；； ；； 故答案为：6；6；20；20； （2）由（1）得：；； 猜想： 故答案为：； （3）①； ②； （4）解：∵，， ∴； 故答案为：a2b． 题型二 二次根式的加减法 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、3与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025春•凤庆县校级期末）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】利用二次根式的加减法的法则进行运算即可． 【解答】解：①与不属于同类二次根式，不能运算，故①不符合题意； ②，故②符合题意； ③，故③符合题意； ④，故④不符合题意． 故选：C． 3．（2025秋•滨海新区校级期末）计算：12　　 ． 【答案】． 【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，再计算即可． 【解答】解：12 ． 4．（2025春•海淀区校级期中）计算： （1）3； （2）． 【分析】（1）首先把二次根式化为最简二次根式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可； （2）根据，可得，从而可得：，然后再把算式中的二次根式化为最简二次根，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴， ∴， 原式 ． 5．（2025春•黄陂区月考）计算： （1）234； （2）263． 【分析】（1）根据合并同类二次根式法则进行计算即可； （2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型三 二次根式的混合运算 1．（2025秋•长宁县期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断． 【解答】解：A． ，所以A选项符合题意； B．236×3＝18，所以B选项不符合题意； C．2，所以C选项不符合题意； D． 与不能合并，所以D选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025秋•宿州期末）计算：（）　2　 ． 【答案】2 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【解答】解：原式＝（42） ＝2 ＝2． 故答案为2． 3．（2025秋•东营期末）计算下列各式： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算乘法，乘方，再算加减即可． 【解答】解：（1） 3 ＝23 ＝4； （2） ＝3﹣9﹣（3+1﹣2） ＝3﹣9﹣4+2 ＝210． 4．（2025秋•玉田县期末）下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 ＝5﹣1…第二步 ＝4…第三步 （1）嘉嘉的解题过程从第　一，　 步开始错误，正确的计算结果是　　 ； （2）计算：． 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）先利用完全平方公式进行乘方运算和平方差公式进行乘法运算，再进行加减即可． 【解答】解：（1）嘉嘉的解题过程从第一步开始错误，正确的计算结果是， 故答案为：一，； （2）原式 ． 题型四 二次根式的化简求值 1．（2025秋•松江区期末）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】B 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ， 当a+b＝﹣2，ab＝1，原式＝﹣1×（﹣2）＝2， 故选：B． 2．已知，则代数式x2﹣2xy+y2的值为（　　） A．28 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】求出x﹣y的值，再运用完全平方公式得出x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，代入计算即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025春•朝阳区校级期末）已知，，则 等于（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解答】解：∵，， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝（）2﹣2（）（） ＝（2）2﹣2×（3﹣2） ＝12﹣2 ＝10， 故选：C． 4．（2025秋•澧县期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】依据题意，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：由题意，原式＝a2﹣3+a2﹣a ＝2a2﹣a﹣3， ∴当时，原式． 5．（2025秋•长宁区期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 6．已知，，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）． 【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可； （2）化简所求式子得到，再将已知代入． 【解答】解：（1）∵， ∴x2+2xy+y2＝（x+y）2； （2） ＝﹣1． 7．求代数式的值，其中a＝10．如图是小明和小颖的解答过程： （1）填空：　小明　 的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中a＝﹣2024． 【分析】（1）根据图中的信息，可知小明的解法是错误的； （2）根据a＝﹣2024，可以将所求代数式化简，然后将a的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由图可知， 小明的解法是错误的，理由是：a＝10时，1﹣a＝﹣9＜0，开方时错了， 故答案为：小明； （2）∵a＝﹣2024， ∴a﹣3＝﹣2027＜0， ∴ ＝a+2 ＝a﹣2（a﹣3） ＝a﹣2a+6 ＝﹣a+6 ＝﹣（﹣2024）+6 ＝2024+6 ＝2030． 8．（2025秋•红谷滩区校级期末）阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9 乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19 （1）你认为 　甲　 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：　|a|　 ； （2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m． 【分析】（1）根据二次根式的性质|a|，即可解答； （2）利用完全平方公式，和二次根式的性质|a|，即可解答． 【解答】解：（1）当m＝5时，1﹣3m＜0， ∴|1﹣3m|＝3m﹣1， ∴我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：|a|， 故答案为：甲，|a|； （2） ＝|m﹣5|+|3﹣m| 当m时，m﹣5＜0，3﹣m＜0， ∴原式＝5﹣m+m﹣3 ＝2． 9．（2025秋•义乌市校级期中）【阅读理解】阅读下列材料： ∴，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是 　3　 ，的小数部分是 　　 ； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【分析】（1）因为，得出的整数部分是3，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，n＝4，再代入，即可作答． 【解答】解：（1）∵， 即， ∴的整数部分为3．小数部分为， 故答案为：3，； （2）∵， 即， ∴的整数部分为2， ∴． ∵，即． ∴的整数部分为4， ∴n＝4， ∴． 10．（2025春•湖北期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出a2﹣2a＝1，然后将a3﹣3a2+2a变形求值即可． 【解答】解：（1）由题意， ； 故答案为：； （2）原式 ＝22； （3）由题意，∵， ∴． ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴a3﹣3a2+2a ＝a（a2﹣3a+2） ＝a（a2﹣2a﹣a+2） ＝a（1﹣a+2） ＝a（3﹣a） ＝﹣a2+3a ＝﹣（a2﹣2a）+a ＝﹣1+a ． 题型五 二次根式的应用 1．（2025秋•桂林期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】直接将h＝60代入公式计算即可． 【解答】解：直接将h＝60代入公式计算可得： ， 故答案为：A． 2．（2025秋•下花园区期末）一个长方形一组邻边的长度和为，长为，这个长方形的面积为　2　 ． 【答案】2． 【分析】依据题意，由一个长方形一组邻边的长度和为，长为，则宽，进而可得这个长方形的面积为（）（）＝5﹣3＝2，即可得解． 【解答】解：由题意，∵一个长方形一组邻边的长度和为，长为， ∴宽＝2 ． ∴这个长方形的面积为（）（）＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 3．（2025春•蔡甸区校级月考）一个三角形的三边长分别为，，． （1）求该三角形的周长； （2）请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． （2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可． 【解答】解：（1）由题意，周长＝7a4a24a ＝14aa4a ＝19a． （2）由题意，当a＝2时，周长（答案不唯一）． 4．（2025秋•阳城县期末）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为m，宽AB为m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（1）m，宽为（1）m． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，长方形ABCD的周长； 答：长方形ABCD的周长是； （2）由题意得，蔬菜地的面积 ＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）， ∴销售收入＝39×8×15＝4680（元）． 答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 5．（2025春•青山湖区期中）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据1≤x≤2，计算求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． ； （2）原式 ． ＝9； （3）原式 ＝2． 6．（2025秋•桂林期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ①　①　 　1　 ； ②　　 ±　　 ）2（a≥0，b≥0）． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积． 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm，根据题意得：x2＝5，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为2xy，代值计算即可． 【解答】解：（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式可得： ①； ②； 故答案为：①；1；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm， 根据题意得：x2＝5，， ∴，， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $