9.4　探索三角形相似的条件课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

4　探索三角形相似的条件 第1课时　利用角的关系判定两个三角形相似 知识点1 相似三角形的定义 三角分别_____，三边_______的两个三角形叫做相似三角形． △ABC相似于△A′B′C′，记作△ABC___△A′B′C′. 相等 成比例 ∽ 【注意】 (1)对应性：通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写容易找到相似三角形的对应角和对应边． (2)相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定． (3)相似三角形具有传递性：若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″. 知识点2 相似三角形的相似比 相似三角形_______的比，叫做相似比． 对应边 【注意】 知识点3 三角形相似的条件 相似三角形的判定定理一： 两角分别_____的两个三角形相似． 符号语言：如图所示， ∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 相等 【注意】 两种特殊情况的相似：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似． 考点1 相似三角形的定义与性质 典例1 [2025·成都二模]如图，已知∠B＝30°，∠D＝130°，△ABC∽△DAC，则∠BCD的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 思路导析 根据相似三角形的性质求得∠DAC＝∠B＝30°，∠BAC＝∠D＝130°，再利用三角形内角和定理求得∠BCA＝∠ACD＝20°，据此求解即可． 变式1 [2025·贵州]如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝2，则AC的长为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 变式3 [2025·合肥二模]如图所示，已知，Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝BC，点D在AB上，且AD＝AC，点E为△ABC外一点， 连接DE，AE，若△ADE∽△CDB，则∠CDE的度数是_____． 45° 考点2 利用相似三角形判定定理一判定三角形相似 典例2 [江西中考]如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB； (2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 思路导析 (1)根据两角相等可得两三角形相似；(2)根据(1)中的相似列比例式可得结论． 变式1 [2025·河北]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( ) A．∠B＋∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 变式2 [2025·榆林模拟]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，则图中与△AOE相似(不含△AOE)的三角形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3 相似三角形判定定理一的应用 典例3 [凉山州中考]如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M.连接CM交DB于点N. (1)求证：BD2＝AD·CD； (2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长． (2)∵BM∥CD， ∴∠MBD＝∠BDC， ∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°， ∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA， ∴BM＝MD＝AM＝4. ∵BD2＝AD·CD，且CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝48， ∴BC2＝BD2－CD2＝12， 变式 [2025·聊城模拟]如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE. (1)求证：△ACE∽△BAD； (2)若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长． 解：(1)证明： ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED. ∵∠ADB＝180°－∠CDE，∠AEC＝180°－∠CED， ∴∠ADB＝∠AEC. 又∵∠DAC＝∠B， ∴△ACE∽△BAD； 第2课时　利用边角的关系判定两 个三角形相似 知识点1 相似三角形的判定定理二 1．定理 两边_______且夹角_____的两个三角形相似． 成比例 相等 ∽ 【注意】 (1)当两边对应成比例时，只有具备“夹角”相等才能相似，并不是任意角相等；仅两边成比例，其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似． (2)找夹角相等的条件应充分考虑“对顶角”“公共角”． (3)当条件有两边的长度或已知两边对应成比例时，可考虑找两边的夹角对应相等来得到两三角形相似． (4)特别地，若两个直角三角形的两直角边对应成比例，则这两个三角形相似． 知识点2 证明三角形相似的一般思路 1．有一对等角，找 (1)另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似； (2)等角的两邻边成比例→两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似． 2．有两边成比例，找 夹角相等→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 3．三角形是直角三角形，找 (1)一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似； (2)两组直角边成比例→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 4．三角形是等腰三角形，找 (1)顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似； (2)一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似． 考点1 利用相似三角形判定定理二判定三角形相似 典例1 如图是由8个小正方形组成的网格，则在△ABD，△ACD， △EBD，△EAF中，与△ABC相似的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 思路导析 利用相似三角形的判定定理二逐个判断． 不能 变式2 [2025·衡阳期末]已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4.求证：△ACP∽△PDB. 考点2 相似三角形判定定理二的应用 典例2 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝2AD， AC＝2AE，BC＝3，且∠BAD＝∠CAE.求DE的长． 思路导析 由题意可证△ADE∽△ABC，可得 ＝ABAD＝2， 即可求DE的长． 变式1 [2024·乳山期末]如图，AD平分∠BAC，AC2＝BC·CD，∠C＝105°，则∠B＝( ) A．25° B．30° C．35° D．40° 变式2 [2024·凉州三模]如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4， D为BC边上一点，BD＝1. (1)求证：△ABD∽△CBA； (2)如果AD＝ ，求AC的长． 第3课时　利用三边的关系判定两个 三角形相似 知识点 相似三角形的判定定理三 1．定理 三边_______的两个三角形相似． 成比例 ∽ 【注意】 (1)当已知条件中有三边时，可考虑此判定方法．在判断三边是否成比例时，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定这两个三角形是否相似．(2)特别地，若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似． 考点1 利用相似三角形判定定理三判定三角形相似 典例1 [2024·莱西期末]如图所示，网格中相似的两个三角形是( ) A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③ 思路导析 用勾股定理求出两个三角形的各边长，通过三边成比例，判定两个三角形相似． 变式1 [2025·承德一模]将△ABC的各边长作如下变化，得到的新三角形与△ABC相似的是( ) A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 变式2 [2025·玄武区二模]如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD.求证：△ABE∽△EBF. 证明：设正方形的边长为4a， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a ，∠A＝∠C＝∠D＝90°. ∵E是AD的中点，CF＝3FD， ∴AE＝DE＝2a，CF＝3a，DF＝a. 考点2 相似三角形判定定理三的应用 典例2 [玉林中考]一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm， 120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为 60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根 截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( ) A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 思路导析 根据相似三角形对应边成比例，进行分类讨论求解． 变式1 象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远 流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘(各 个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马” 下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在 位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格 点构成的三角形相似( ) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 32° 考点3 相似三角形的判定与性质的综合 典例3 [2024·岱岳期末]如图，△ABC是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，∠DAE＝120°. (1)求证：△BAD∽△CEA； (2)若BD＝2，CE＝6，求△ABC的边长． 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠DAE＝120°，∴∠BAD＋∠CAE＝60°. ∵∠ACB是△ACE的外角， ∴∠ACB＝∠E＋∠CAE＝60°，∴∠BAD＝∠E. ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ECA＝120°， ∴△BAD∽△CEA； (1)相似比是有顺序的，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k，则△A′B′C′与△ABC的相似比为eq \f(1,k).若这两个相似比相等，即k＝eq \f(1,k)，则相似比为1，此时，这两个三角形全等．也就是说，全等是一种特殊的相似，特殊在相似比为1.(2)全等一定相似，相似不一定全等． 变式2 [2025·合肥一模]如图，△ABC∽△BDC，若AC＝3，BC＝eq \r(3)，则△ABC与△BDC的相似比为( ) A．1∶eq \r(3) B．1∶3 C．3∶1　 D．eq \r(3)∶1 解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA. ∵∠ACD＝∠ABE， ∴∠BCA＝∠ABE. 又∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB； (2)∵△ABC∽△AEB， ∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AB). ∵AB＝6，AC＝4， ∴eq \f(6,AE)＝eq \f(4,6)， ∴AE＝eq \f(36,4)＝9. 思路解析：(1)通过证明△ABD∽△BCD，可得eq \f(AD,BD)＝eq \f(BD,CD)，可得结论； (2)由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD·CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得eq \f(BM,CD)＝eq \f(MN,CN)＝eq \f(2,3)，即可求MN的长． 证明：(1)∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， 且∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD， ∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(BD,CD)， ∴BD2＝AD·CD； ∴MC2＝MB2＋BC2＝28，∴MC＝2eq \r(7). ∵BM∥CD，∴∠BMN＝∠DCN. 又∵∠MNB＝∠CND， ∴△MNB∽△CND， ∴eq \f(BM,CD)＝eq \f(MN,CN)＝eq \f(2,3)， ∴MN＝eq \f(4\r(7),5). (2)∵△ACE∽△BAD， ∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(BD,AD). ∵CE＝3，BD＝4，AE＝2， ∴AD＝eq \f(BD·CE,AE)＝6， ∴ED＝AD－AE＝6－2＝4. 2．符号语言 如图所示，如果eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)， 且∠A＝∠A′， 则△ABC △A′B′C′. 解析：由题意可得∠ABC＝∠EAF＝135°， 设小正方形的边长为a， 则AE＝AB＝eq \r(2)a，CD＝BC＝a， BD＝2a，AF＝3a，BE＝2eq \r(2)a. ∵eq \f(AB,BE)＝eq \f(BC,BD)＝eq \f(1,2)，∴△ABC∽△EBD. ∵eq \f(AB,BC)＝eq \r(2)＝eq \f(BD,AB)，∠ABC＝∠ABC， ∴△ABC∽△DBA. 变式1 [2025·上海期中]如图，已知点D，E分别在△ABC的边AB和AC上，如果 eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AC)，那么 得到DE∥BC.(填“能”或“不能”) 证明：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2， ∴∠PCA＝∠PDB＝120°. 又∵AC＝1，BD＝4， ∴eq \f(AC,PD)＝eq \f(PC,BD)＝eq \f(1,2)， ∴△ACP∽△PDB. eq \f(BC,DE)＝eq \f(AB,AD) 解：∵AB＝2AD，AC＝2AE， ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)＝2. ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE，且eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)， ∴△ABC∽△ADE，∴eq \f(BC,DE)＝eq \f(AB,AD)＝2. ∵BC＝3，∴DE＝eq \f(3,2). eq \f(5,2) 解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝2，BC＝4，BD＝1， ∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(1,2). ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA； (2)由(1)知△ABD∽△CBA， ∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(AD,AC). ∵AD＝eq \f(5,2)，AB＝2，BD＝1， ∴eq \f(\f(5,2),AC)＝eq \f(1,2)， ∴AC＝5. 2．符号语言 如图所示， 如果eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(CA,C′A′)＝k，那么△ABC △A′B′C′. 解析：图形①的三边为2，eq \r(10)，eq \r(2)； 图形②的三边为3，eq \r(5)，eq \r(2)； 图形③的三边为2，2eq \r(2)，2eq \r(5)； 图形④的三边为3，eq \r(2)，eq \r(17). ∵eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(10),2\r(5))， ∴①与③相似． 在Rt△ABE中，BE＝eq \r(AE2＋AB2)＝eq \r(（2a）2＋（4a）2)＝2eq \r(5)a， 在Rt△DEF中，EF＝eq \r(DF2＋DE2)＝eq \r(a2＋（2a）2)＝eq \r(5)a， 在Rt△BCF中，BF＝eq \r(（3a）2＋（4a）2)＝5a. ∵eq \f(AE,EF)＝eq \f(2a,\r(5)a)＝eq \f(2,\r(5))，eq \f(AB,BE)＝eq \f(4a,2\r(5)a)＝eq \f(2,\r(5))，eq \f(BE,BF)＝eq \f(2\r(5)a,5a)＝eq \f(2,\r(5))， ∴eq \f(AE,EF)＝eq \f(AB,BE)＝eq \f(BE,BF)， ∴△ABE∽△EBF. 变式2 已知，如图，eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,BE)＝eq \f(CA,ED)，∠ABD＝32°，则∠CBE＝ ． 思路解析：(1)先证∠BAD＝∠E，再证∠ABD＝∠ECA，即可证得△BAD∽△CEA；(2)根据(1)中的两个三角形相似，得出eq \f(AB,CE)＝eq \f(BD,AC)，结合等边三角形的性质即可求出其边长． (2)由(1)知△BAD∽△CEA， ∴eq \f(AB,CE)＝eq \f(BD,AC). ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC. ∵BD＝2，CE＝6， ∴eq \f(AB,6)＝eq \f(2,AB)， ∴AB＝2eq \r(3)，即△ABC的边长为2eq \r(3). 变式 [2024·成都期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E，EF∥BC交BD于点F. (1)求证：△ACE∽△BAC； (2)若AC＝eq \r(5)，CE＝1，求BD及EF的长． 解：(1)证明：∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴∠CAD＝∠ACD. ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴△ACE∽△BAC； (2)∵△ACE∽△BAC， ∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(CE,AC)，即eq \f(\r(5),AB)＝eq \f(1,\r(5))， 解得AB＝5. ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD＝CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)， ∴BC＝eq \r(25－5)＝2eq \r(5)，DE＝eq \f(3,2). ∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠DCB. 又∵∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴eq \f(DE,CD)＝eq \f(EF,BC)，即eq \f(\f(3,2),\f(5,2))＝eq \f(EF,2\r(5))， 解得EF＝eq \f(6\r(5),5). $