专题8.4 向量的应用 （4大知识点+8大题型+强化训练）提升讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修（沪教版必修第二册)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.4 向量的应用 知识点一、定比分点的坐标表示 若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比； 1、 2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向 3、点的位置与λ的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点 特别地，当时，有＝，即点是线段之中点，其坐标为； ②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点为的外分点； 知识点二、三角形“四心”的向量表示 设的顶点对应向量为、、，记，，，内角为，为零向量. 1.重心（，三条中线的交点） 基本形式： 零向量性质： 坐标形式：若、、，则 2.垂心（，三条高线的交点） 垂直性质：，， 向量等式：（为原点时） 与外心的关系： 3.外心（，三边垂直平分线的交点） 模长性质：（为外接圆半径） 垂直平分线：若是中点，则 4.内心（，三条角平分线的交点） 基本形式： 零向量性质： 知识点三、向量在几何中的应用 1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系． 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：． （3）求夹角问题，利用夹角公式：． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： 知识点四、向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上． 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解． 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量．在解决问题时要注意数形结合． 题型一 定比分点问题 【例1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】 1.已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 2.已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是__________ 3.如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 题型二 三角形“四心”问题 【例2】已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（  ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【跟踪训练】 1.是内一点，若满足，则是三角形的（　　） A．内心 B．内心 C．重心 D．垂心 2.点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（  ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 题型三 判断三角形的形状 【例3】在中，若，则的形状是（  ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪训练】 1.已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 2.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3.已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型四 利用向量方法证明几何结论 【例4】证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半. 【例5】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    、【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 、 2. 如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 题型五 用平面向量证明三角公式 【例6】试用向量的方法证明：在中，. 【跟踪训练】 1.在中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c； （1）用向量方法证明：； （2）用向量方法证明，两角差的余弦公式； 题型六 向量在物理中的应用 【例7】在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【例8】某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 2．一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 3.如图，用两根长分别为5 m和10 m的绳子，将100 N的物体M吊在水平屋顶AB上，平衡后，物体M距屋顶的距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 4.一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 题型七 向量在几何中的应用 【例9】已知，，若，则的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【跟踪训练】 1.如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 2.如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求；(2)求的取值范围． 题型八 向量与三角函数的综合 【方法点拨】先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可. 【例10】已知O为坐标原点，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【例11】已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值. 【跟踪训练】 1.已知，． (1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围； (2)若，函数，求的最小值． 2.已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域. 一、选择题 1.已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2.已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形B．等腰非等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形   3.已知非零向量与满足，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4.若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 6. 在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 8.三个顶点的坐标分别为：，，，则的重心坐标为 . 9.已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于 10.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为 11.在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，AC＝，则·＋·＋·＝ 12.已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，则点P的坐标是__________． 13.已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则_________ 14.点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 15.某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为___________ 16.若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 3、 解答题 17.如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：.    18.用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 19.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 20.设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 21. 设函数，其中向量，，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.4 向量的应用 知识点一、定比分点的坐标表示 若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比； 1、 2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向 3、点的位置与λ的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点 特别地，当时，有＝，即点是线段之中点，其坐标为； ②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点为的外分点； 知识点二、三角形“四心”的向量表示 设的顶点对应向量为、、，记，，，内角为，为零向量. 1.重心（，三条中线的交点） 基本形式： 零向量性质： 坐标形式：若、、，则 2.垂心（，三条高线的交点） 垂直性质：，， 向量等式：（为原点时） 与外心的关系： 3.外心（，三边垂直平分线的交点） 模长性质：（为外接圆半径） 垂直平分线：若是中点，则 4.内心（，三条角平分线的交点） 基本形式： 零向量性质： 知识点三、向量在几何中的应用 1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系． 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：． （3）求夹角问题，利用夹角公式：． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： 知识点四、向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上． 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解． 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量．在解决问题时要注意数形结合． 题型一 定比分点问题 【例1】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先得到，，设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得即可. 【详解】因为点，向量，， 所以，， 设，则， ， 因为，所以，解得，所以. 故答案为： 2.已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是__________ 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以 当时，得，所以 3.如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 题型二 三角形“四心”问题 【例2】已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（  ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析 】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【解析 】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 【跟踪训练】 1.是内一点，若满足，则是三角形的（　　） A．内心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】设为边上的中点，根据向量加法的平行四边形法则可得，由此即可得出结论. 【解析 】设为边上的中点， 由，得， 所以， 又点为公共端点，所以三点共线， 即点在边上的中线上，且， 所以是三角形的重心. 故选：C. 2.点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（  ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析 】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【解析 】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D. 题型三 判断三角形的形状 【例3】在中，若，则的形状是（  ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可. 【解析 】由题意可知， 所以，即的形状是直角三角形. 故选：C 【跟踪训练】 1.已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 2.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 3.已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 题型四 利用向量方法证明几何结论 【例4】证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半. 【答案】证明见解析 【分析】转化题目为在中，、分别为边、的中点，即证：，且，进而利用向量的线性运算性质证明即可. 【解析 】如图，在中，、分别为边、的中点， 即证：，且. 证明：因为、分别为边、的中点， 所以，， 所以， 又不在上， 所以，且. 所以三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.    【例5】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解析 】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 2. 如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【解答过程】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有 ， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有 ， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 题型五 用平面向量证明三角公式 【例6】试用向量的方法证明：在中，. 【答案】证明见解析 【分析】设，从而得出，化简整理可得 ，两边同时与作内积，利用向量的数量积公式即可求解. 【解析 】设，从而得出， ，， ，得证. 【跟踪训练】 1.在中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c； （1）用向量方法证明：； （2）用向量方法证明，两角差的余弦公式； 【提示】（1）由向量的数量积定义证明 （2）由向量的数量积定义与坐标表示证明 【解析】（1），故， 有，即，得证 （2）在平面直角坐标系中，设点 又，即，得证； 【说明】用向量法重新证明之前学习过的三角函数中的定理，体现了向量应用的广泛性，也体现了数学中一题多解的奇妙，更能让学生体会到数学的乐趣； 题型六 向量在物理中的应用 【例7】在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 【例8】某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【解答过程】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【解题思路】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【解答过程】因为， 所以力对该物体做的功为. 故选：D. 2．一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【解答过程】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D. 3.如图，用两根长分别为5 m和10 m的绳子，将100 N的物体M吊在水平屋顶AB上，平衡后，物体M距屋顶的距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 【解析】如图，由已知条件可知DM与铅垂方向成45°角，CM与铅垂方向成60°角． 设A处所受力为FA，B处所受力为FB，物体的重力为G. 因为∠EMC＝60°，∠EMD＝45°， 则有|FA|cos 45°＋|FB|cos 60°＝|G|＝100，① 且|FA|sin 45°＝|FB|sin 60°，② 由①②得|FA|＝(150－50)N， 所以A处所受力的大小为(150－50)N. 4.一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 题型七 向量在几何中的应用 【例9】已知，，若，则的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由向量加法的几何意义可知的最小值就是点到直线的距离 【解答过程】设，则为直线上的动点，,如图.    的最小值为点到直线的距离， 根据，，得. 故选：A． 【跟踪训练】 1.如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【解答过程】（1）； ， ，故， . （2）， . 2.如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 题型八 向量与三角函数的综合 【方法点拨】先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可. 【例10】已知O为坐标原点，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用，求出，利用向量的模长公式，即可求解. （2）利用，再根据，即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）时，，∴ ∴ （2） ∵，∴，∴ ∴的取值范围为． 【例11】已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值. 【解题思路】（1）利用向量得到，对所求的式子进行弦化切代入可得答案； （2）由数量积的坐标运算和辅助角公式化简可得，再根据三角函数的有界性可得最大值及. 【解答过程】（1） 因为向量， 所以，所以， ； （2） ，其中， 当时，取得最大值， 此时， 即时，取得最大值. 【跟踪训练】 1.已知，． (1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围； (2)若，函数，求的最小值． 【解题思路】(1)又与的夹角为钝角，可得且与不能共线，列不等式求的范围； (2) 化简得，利用将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质求值域. 【解答过程】（1）当时， ，若与的夹角为钝角， 则且与不能共线， ，所以， 又，所以，所以， 当与共线时，，故，所以与不共线时，. 综上：. （2） ， 令，则， ， 而函数在上为增函数，故当时有最小值. 故的最小值为. 2.已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域. 【解题思路】（1）利用向量坐标的线性运算得的坐标，根据的坐标关系可得，从而可得，，即可求解的值； （2）求解化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得，根据余弦函数图象性质求函数的值域即可. 【解答过程】（1）解：，， ，， ，即， ，. （2）解：， 由图象向右平移，横坐标变为2倍得， ，， 在单调递增，单调递减， ， ，即值域为. 一、选择题 1.已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解题思路】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【解答过程】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 2.已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【解答过程】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A.    3.已知非零向量与满足，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由，利用数量积运算化简得，得解. 【详解】由条件，即, ，展开并整理得， 故三角形为等腰三角形. 故选：C. 4.若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形ABCD为平行四边形， , ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形. 故选：B 5．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 6. 在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的中点为，则，则，    所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心. 故选：A 7．设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 二、填空题 8.三个顶点的坐标分别为：，，，则的重心坐标为 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 9.已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于 【答案】3 【解析】∵D为BC的中点，∴＝(＋)， ∴||2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)． ∵＝－， ∴(－)2＝2－2·＋2＝100， ∴2＋2＝100＋2·＝68， ∴||2＝×(68－2×16)＝9， ∴||＝3； 10.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为 【答案】5； 【解析】由1×(－4)＋2×2＝0，得⊥.又||＝，||＝2，∴S＝·2＝5； 11.在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，AC＝，则·＋·＋·＝ 【答案】－4； 【解析】由题可得，AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°， ∴·＋·＋· ＝·(＋)＋0 ＝·＝－2＝－4. 12.已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，则点P的坐标是__________． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 13.已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则_________ 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 14.点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 【答案】①③ 【分析】根据向量的线性关系及数量积，结合对应的几何意义判断点线的位置关系，进而确定△的心. 【详解】①若，即的中点与三点共线，故在中线上，同理在的中线上，故为△的重心，正确； ②由、分别平行于以顶角为的等腰三角形的底边，但不一定有、，故不一定为△的垂心，错误； ③由、表示与、中点的连线，且分别与、垂直，即为、的垂直平分线交点为，故为△的外心，正确． 故答案为：①③ 15.某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为___________ 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 16.若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 3、 解答题 17.如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：.    【答案】证明见解析 【解题思路】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【解答过程】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 18.用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【解题思路】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【解答过程】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 19.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见详解 【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明. 【详解】对于菱形，可知，即， 因为， 可得，则， 所以菱形的两条对角线互相垂直. 20.设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）直接根据求解； （2）分和两种情况，利用向量的坐标运算求解； （3）设，利用向量的坐标运算列方程求解. 【详解】（1）当是线段的中点时， ， ； （2）①当时， ， ， 得点的坐标为：； ②当时， , ， 得点的坐标为：； （3）设 , 又，, ， 即点的坐标是. 21. 设函数，其中向量，，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】（1）最大值为，，； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式得，根据正弦型函数的性质求最大值及其对应自变量； （2）设，根据图象平移得，由余弦函数的奇偶性列方程求得，（），，再由向量模长的最小值，即可得结果. 【小问1详解】 ， 故函数的最大值为，相应的值为，； 【小问2详解】 设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 1 学科网（北京）股份有限公司 $