8.3　用公式法解一元二次方程课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

3　用公式法解一元二次方程 第1课时　公式法 知识点1 一元二次方程的求根公式(难点) 一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac ___0时，它的根是________________，这个式子称为一元二次 方程的求根公式． ≥ 知识点2 公式法解一元二次方程(重点) 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 【注意】 (1)应用求根公式的前提条件是b2－4ac≥0，当b2－4ac<0时可直接判断此方程无实数根；(2)公式法是解一元二次方程的万能法，适用于任何一元二次方程，但在应用时一定要将原方程化为一般形式． 知识点3 用公式法解一元二次方程的步骤 1．化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形 式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； 2．定：确定a，b，c的值； 3．算：计算b2－4ac的值； 4．求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－ 4ac＜0，则原方程没有实数根． 考点 用公式法解一元二次方程 典例 用公式法解下列方程： (1)x2－5x＋3＝0； (2)4x2＋4x－1＝－10－8x； (3)2x(x＋2)－1＝0. 思路导析 先将方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，求出b2－4ac，当b2－4ac≥0时，代入求根公式求解，当b2－4ac<0时，方程无实数根． 变式1 [2024·浙江期中]用公式法解一元二次方程3x2＋x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是( ) A．a＝3，b＝－1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝－7 C．a＝3，b＝－1，c＝－7 D．a＝3，b＝1，c＝7 5x2＋3x－2＝0 第2课时　根的判别式 知识点1 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来 判定．把_______叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根 的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． b2－4ac 知识点2 利用根的判别式，判断根的情况 (1)当b2－4ac>0时，方程有___________的实数根， 即x＝_____________； (2)当b2－4ac＝0时，方程有_________的实数根，即x1＝x2 ＝_____； (3)当b2－4ac<0时， 无意义，所以方程_______． 两个不相等 两个相等 无实根 考点1 不解方程，判断方程根的情况 典例1 不解方程，判断下列方程根的情况： (1)16y2－24y＋9＝0； (2)16x2＋8x＝－3； (3)3(x2－2)＋5x＝0. 解：(1)Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根； (2)移项，得16x2＋8x＋3＝0， Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝－128＜0， ∴方程没有实数根； (3)由原方程得3x2＋5x－6＝0， Δ＝b2－4ac＝52－4×3×(－6)＝97＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 变式 [2025·上蔡县三模]你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为x，那么可得方程x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2，则该方程的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 考点2 不解方程，根据方程根的情况确定字母的值(或范围) 典例2 [2024·北京期末]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 思路导析 (1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式大于0，从而列出关于m的不等式，解不等式即可；(2)根据(1)中所求m的取值范围，求出m，再代入方程，然后求出方程的根即可． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4(m－1)＞0， ∴m＜2； (2)∵m为满足条件的最大整数，m＜2， ∴m＝1，∴原方程为x2＋2x＝0， 解得x1＝0，x2＝－2. 变式 [2025·深圳模拟]使得关于x的方程x2＋4x＋c＝0有实数 根的最大整数c＝__． 4 考点3 不解方程，根据判别式证明方程根的情况 典例3 [2024·淮阴区期末]已知关于x的方程x2－2kx＋k2－1＝0. (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为5，求k的值． 变式 [2024·台江区模拟]已知关于x的一元二次方程x2－ (k＋5)x＋6＋2k＝0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于－1，求k的取值范围． 解：(1)证明：∵Δ＝(k＋5)2－4(6＋2k) ＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0， ∴此方程总有两个实数根； x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) 解：(1)∵a＝1，b＝－5，c＝3， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×3＝13>0， ∴x＝eq \f(－（－5）±\r(13),2×1)＝eq \f(5±\r(13),2)， ∴x1＝eq \f(5＋\r(13),2)，x2＝eq \f(5－\r(13),2)； (2)将方程变形，得4x2＋12x＋9＝0， ∴a＝4，b＝12，c＝9， ∴b2－4ac＝122－4×4×9＝0， ∴x＝eq \f(－12±0,2×4)＝－eq \f(3,2)， ∴x1＝x2＝－eq \f(3,2). (3)∵2x(x＋2)－1＝0， ∴2x2＋4x－1＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝－1， ∴b2－4ac＝42－4×2×(－1)＝24， ∴x＝eq \f(－4±\r(24),2×2)＝eq \f(－2±\r(6),2)， ∴x1＝eq \f(－2＋\r(6),2)，x2＝eq \f(－2－\r(6),2). 变式2 [2024·榕江一模]用公式法解一元二次方程，得x＝eq \f(－3±\r(32－4×5×（－2）),2×5)，则该一元二次方程是 ． 变式3 用公式法解下列方程： (1)3x2－5x－1＝0； (2)eq \r(2)x2＋4eq \r(3)x＋6eq \r(2)＝0； (3)[2025·丰县模拟](x＋1)(x－5)＝2. 解：(1)∵a＝3，b＝－5，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－1)＝37＞0， ∴x＝eq \f(5±\r(37),2×3)， ∴x1＝eq \f(5＋\r(37),6)，x2＝eq \f(5－\r(37),6)； (2)∵a＝eq \r(2)，b＝4eq \r(3)，c＝6eq \r(2)， ∴b2－4ac＝(4eq \r(3))2－4×eq \r(2)×6eq \r(2)＝0， ∴x＝eq \f(－4\r(3)±0,2×\r(2))＝－eq \r(6)， ∴x1＝x2＝－eq \r(6). (3)整理成一般式，得x2－4x－7＝0， ∴a＝1，b＝－4，c＝－7， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0， 则x＝eq \f(4±\r(44),2×1)＝2±eq \r(11)， ∴x1＝2＋eq \r(11)，x2＝2－eq \r(11). eq \r(b2－4ac) eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) －eq \f(b,2a) 解：(1)证明：∵Δ＝(－2k)2－4(k2－1)＝4＞0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)x＝eq \f(2k±\r(4),2×1)＝k±1， ∴x1＝k＋1，x2＝k－1， 当k＋1＝5时，k＝4；当k－1＝5时，k＝6. 综上所述，k的值为4或6. (2)∵x＝eq \f(k＋5±（k＋1）,2×1)， ∴x1＝2，x2＝k＋3， ∵此方程恰有一个根小于－1， ∴k＋3＜－1，解得k＜－4， 即k的取值范围为k＜－4. $