专题03 平面向量的应用（含等和线定理、奔驰定理、极化恒等式、三角形四心的向量表示）（竞赛培优专项训练,9大考点+竞赛强基）高一数学人教A版全国通用

专题03 平面向量的应用 （含等和线定理、奔驰定理、极化恒等式、三角形四心的向量表示） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 用向量证明平面几何中的平行、垂直问题念 8 考点二 用向量解决夹角问题 9 考点三 用向量解决线段长度问题 10 考点四 用向量解决几何中的最值（取值范围）问题 11 考点五 向量在物理中的应用 12 考点六 等和线定理的应用 15 考点七 极化恒等式的应用 17 考点八 奔驰定理的应用 17 考点九 三角形四心的向量表示 18 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题11道） 知识点01用向量方法解决平面几何问题的步骤 1．“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．应用： (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝. 知识点02 向量在物理中的应用 1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． 2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算． 3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角)． 知识点03 极化恒等式（拓展） 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点04 等和(高)线定理（拓展） 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 知识点05 奔驰定理（拓展） 1. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 知识点06 奔驰定理与三角形“四心”的关系（拓展） 1．三角形“四心”的概念 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 2.利用奔驰定理研究三角形“四心”的向量关系 奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系. (1)是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 (2)是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得. (3)是的外心 ； 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 （4）是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 . 知识点07 三角形“四心”的向量表示（拓展） 1.三角形重心的向量表示 （1）； （2）； （3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （4）动点满足，，则动点的轨迹一定通过△ABC的重心 （5）重心坐标为：. 2.三角形外心的向量表示 （1）； （2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； （3）若，则是的外心； （4）； （5）. 3.三角形内心的向量表示 （1） （2） （3）动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心 （4）. 4.三角形垂心的向量表示 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4） （5）. 考点一 用向量证明平面几何中的平行、垂直问题念 1.已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2.已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 3.如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 4．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 5.如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 考点二 用向量解决夹角问题 6.如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 7.在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 9．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 10．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 考点三 用向量解决线段长度问题 11．如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 13．在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ． 15．设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 考点四 用向量解决几何中的最值（取值范围）问题 16．在中，，，为所在平面内的动点，且.D为AB的中点，则PD的最大值为（ ） A． B． C． D． 17．已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为直角边作等腰，求四边形面积的最大值． 19．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； (1)求∠PAQ的大小； (2)求面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 20．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在轴上方,求的取值范围．    考点五 向量在物理中的应用 21．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 22．已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 24．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 25．（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 26．(多选)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，空速向量为（单位：m/s），风速向量为（单位：m/s），则（    ） A．地速大小为5m/s B．地速向量的方向与空速向量方向相同 C．纵向偏移量与标准值无偏差 D．该无人机需要调整飞行姿态 27．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 28．已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 29．（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 考点六 等和线定理的应用 30.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 31.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 32.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 33.（多选题）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 34.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 35.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  36.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值范围是　　　　　　.  考点七 极化恒等式的应用 37.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 38.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39.正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40.已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 41．在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为 ． 考点八 奔驰定理的应用 42.设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 43．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 44.已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 45.已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 46．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断： ①若P是的重心，则有； ②若成立，则P是的内心； ③若，则； ④若P是的外心，，，则； ⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为. 则正确的命题有 .（填序号）    考点九 三角形四心的向量表示 47．已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 48．已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 49.已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 50．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 51．点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 52． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 53．（多选）以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 54．如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 55．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 56．如图，为锐角三角形，点为的外心，点为的重心，的外接圆半径为.以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，若， (1)试用表示；并探究三点是否共线，如果共线，请给出证明，若不共线，说明理由. (2)求证：是的垂心； (3)求证：，并且指出等号成立的条件. 1.（2023·新疆咯什素养大赛）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 2．（全国高中数学联赛湖南预赛）已知非零向量与满足且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 3．(清华大学学术能力测试)在中，，I为的内心，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·湖南吉首教师解题大赛）已知中，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．(多选)（清华大学THUSSAT附加科目测试）如图，的外心为O，三条高线交于一点H，与的延长线交于点I，与的延长线交于点J，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国数学联赛四川宜宾初赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 7．(2024·上海数学竞赛)已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 . 8．(2023·安徽太和中学数学竞赛)直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 ． 9．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则= ． 10．（第十二届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）已知半径为1，分别为其两条切线，切点分别为，则的最小值为 ． 11．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量的应用 （含等和线定理、奔驰定理、极化恒等式、三角形四心的向量表示） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 用向量证明平面几何中的平行、垂直问题念 8 考点二 用向量解决夹角问题 10 考点三 用向量解决线段长度问题 13 考点四 用向量解决几何中的最值（取值范围）问题 17 考点五 向量在物理中的应用 21 考点六 等和线定理的应用 28 考点七 极化恒等式的应用 32 考点八 奔驰定理的应用 35 考点九 三角形四心的向量表示 39 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题11道） 知识点01用向量方法解决平面几何问题的步骤 1．“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．应用： (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝. 知识点02 向量在物理中的应用 1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． 2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算． 3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角)． 知识点03 极化恒等式（拓展） 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点04 等和(高)线定理（拓展） 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 知识点05 奔驰定理（拓展） 1. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 知识点06 奔驰定理与三角形“四心”的关系（拓展） 1．三角形“四心”的概念 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 2.利用奔驰定理研究三角形“四心”的向量关系 奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系. (1)是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 (2)是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得. (3)是的外心 ； 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 （4）是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 . 知识点07 三角形“四心”的向量表示（拓展） 1.三角形重心的向量表示 （1）； （2）； （3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （4）动点满足，，则动点的轨迹一定通过△ABC的重心 （5）重心坐标为：. 2.三角形外心的向量表示 （1）； （2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； （3）若，则是的外心； （4）； （5）. 3.三角形内心的向量表示 （1） （2） （3）动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心 （4）. 4.三角形垂心的向量表示 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4） （5）. 考点一 用向量证明平面几何中的平行、垂直问题念 1.已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B. 2.已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【解析】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 3.如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【解析】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 4．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：设， ． 因为四边形为菱形，所以， 又 则，故． 所以. 5.如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 考点二 用向量解决夹角问题 6.如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 7.在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 8．已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【解析】（1）由题可知，， 三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线，故，共线， 所以，解得． 故当时，A，B，C不构成三角形， （2）当C为钝角时，， 所以，解得且， 当A为钝角时，，，， 即，，所以， 当B为钝角时，，， ，，无解． 所以或且． 9．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【解析】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 10．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解析】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 考点三 用向量解决线段长度问题 11．如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为，所以， 所以，解得， 所以，得， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以． 故选：A 12．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【解析】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 13．在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 14．已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】，以为邻边的平行四边形的面积为 15．设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 【解析】（1）证明：记在中，所对的边分别长度为. 根据正弦定理，有，所以. 根据，有， 得到， 因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到， 所以，所以，所以不是锐角三角形； （2）因为，所以， 所以，所以，得到， 设外接圆圆心为，则有， 得到对平面上所有成立，必须有， 根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一. 考点四 用向量解决几何中的最值（取值范围）问题 16．在中，，，为所在平面内的动点，且.D为AB的中点，则PD的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 由已知，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又因为，，，则， 所以， 17．已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 18．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为直角边作等腰，求四边形面积的最大值． 【解析】设，则，， 又，则， 所以， 即四边形面积的最大值为． 19．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且； (1)求∠PAQ的大小； (2)求面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由． 【解析】（1）记，，则． （1）解法一：∵，∴， ∴， ∴， ∵正方形ABCD的边长为1，∴，， 在中，，，由， 则， ∴，． ∵，∴． 解法二：． 设，，则． 在中，，即， ． ∵，∴． （2），． ∴， ∵，∴． ∵，∴当时，面积的最小值为． （3）设中PQ边上的高为h，由，得， ． 又∵，∴， 且，∴， ∴，即为定值，该同学猜想正确. 20．如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在轴上方,求的取值范围．    【解析】设，则，， ，． 将逆时针旋转，则， 则有即 所以点的轨迹方程为． 所以 ， 因为的范围是，所以的范围是， 所以的范围是，所以的取值范围是， 所以的范围是．      考点五 向量在物理中的应用 21．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 22．已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则. 故选：C. 23．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 24．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 25．（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 26．(多选)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，空速向量为（单位：m/s），风速向量为（单位：m/s），则（    ） A．地速大小为5m/s B．地速向量的方向与空速向量方向相同 C．纵向偏移量与标准值无偏差 D．该无人机需要调整飞行姿态 【答案】ACD 【解析】设空速向量为，风速向量为，地速向量为，则， 所以，所以， 所以地速大小为，故A正确； 由可知地速向量的方向与空速向量方向不相同，故B错误； 由于纵向偏移量为，与标准值无偏差，故C正确； 由于无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，而地速向量为， 所以需要调整飞行姿态，故D正确. 故选：ACD. 27．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【解析】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 28．已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【解析】（1）由，与的夹角为，可设，则， 因为质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点， 所以，即， 即，解得， 所以． （2）与的合力对质点所做的功为：． 29．（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【解析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 考点六 等和线定理的应用 30.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，则． 故选：A． 31.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ，∴， 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 32.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 33.（多选题）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 【答案】ABD 【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式） 对于B选项： , （分点恒等式） （三点共线定理），故B正确 补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项. 对于C选项：，故C错误； 对于D选项：，故D正确. 故选ABD. 34.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】[1,4] 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 35.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  【答案】[3，4] 【解析】如图， 直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3，4]. 36.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设=x+y(x，y∈R)，则x+y的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，作CE⊥BD于点E，由△CDE∽△DBA知=， 即=，所以CE=， 设与BD平行且与圆C相切的直线交AD的延长线于点F， 作DH垂直于该直线于点H，显然DH=2CE=， 由△DFH∽△BDA得=， 即=，所以DF=， 过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M， 设t=，则x+y=t， 由图形知“等和线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1=<<=， 即1<t<， 故x+y的取值范围是. 考点七 极化恒等式的应用 37.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B 38.半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 与交于点，由得： ， 所以四边形是菱形，且，则，， 由图知，，而， ∴， 同理，，而， ∴， ∴， ∵点是圆内一点，则，∴， 故选：A. 39.正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为外接圆的圆心， 因为，所以， 当弦的长度最短时，， 在中，由正弦定理知，外接圆半径，即， 所以， 因为，即， 所以， 因为点为线段上的动点， 所以当点与点重合时，； 当点与点重合时，， 在中，由余弦定理知， ， 所以， 综上，， 所以．    故选：D． 40.已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为 . 【答案】. 【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得： . 41．在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，则，， ， 当且仅当且时取等号， 考点八 奔驰定理的应用 42.设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ， 故选：D． 43．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由奔驰定理得，解之得，故选C． 44.已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 【答案】 【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以 （法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以 45.已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 【答案】 【解析】（法1）：由得，，即，由结论推广得 （法2）：由得，，即，化简得，由，得，设AB中点为D，则，所以点P在 46．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断： ①若P是的重心，则有； ②若成立，则P是的内心； ③若，则； ④若P是的外心，，，则； ⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为. 则正确的命题有 .（填序号）    【答案】①②④⑤ 【分析】根据已知可推得，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，根据“奔驰定理”得出，进而结合已知即可得出②；根据平面向量基本定理表示出，根据“奔驰定理”化简，结合，不共线，即可推得③错误；根据已知得出，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围. 【解析】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点， 所以，，， 同理可得，， 所以， 又因为， 所以，故①正确； 对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，， 则，，， 因为，则， 即. 又因为， 所以，所以点P是的内心，故②正确； 对于③：因为， 所以，，， 所以 ， 化简得， 又因为，不共线， 所以，即， 所以，，故③错误； 对于④：因为P是的外心，， 所以，，. 因为， 则， 化简得 . 由题意知m，n不同时为正.记，， 则， 因为， 所以，即， 所以，故④正确； 对于⑤：∵O为的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴. ∵(当且仅当时取等号)， ∴，∴， ∴(当且仅当时取等号)， ∴的最大值为，故⑤正确. 故答案为：①②④⑤. 考点九 三角形四心的向量表示 47．已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：C. 48．已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 由三角形重心性质知，得， 即， 故由余弦定理得. 故选：D 49.已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【答案】B 【解析】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 50．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【解析】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B 51．点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【解析】由题意， 故所在的直线与三角形的高重合，故通过垂心. 故选：C． 52． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】如图所示，过点作，垂足为点． 则， 同理， 动点满足，． ，． ， ， 因此的轨迹一定通过的垂心． 故选：D． 53．（多选）以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 54．如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 55．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【解析】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；    选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确；    选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；    选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确. 故选：ABD 56．如图，为锐角三角形，点为的外心，点为的重心，的外接圆半径为.以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为点，若， (1)试用表示；并探究三点是否共线，如果共线，请给出证明，若不共线，说明理由. (2)求证：是的垂心； (3)求证：，并且指出等号成立的条件. 【解析】（1）法一：由平面向量加法的平行四边形法则得， 所以；另外，从而， 进而，由此，所以共线. 法二：由， 此时，所以，所以三点共线. 法三：若为原点，设， 由平面向量加法的平行四边形法得，，所以； 所以，由重心坐标公式有； 故. 从而，所以共线. （2）法一：由（1）知， 所以，又， 所以，因为为的外心， 所以，所以，所以， 同理，从而为的垂心. 法二：， 从而，同理；； 进而，故为垂心. （3）法一： ， ， 当且仅当重心与外心重合等号成立. 法二： ， （当且仅当取等）； ， （当且仅当取等）； 综上，，当且仅当 等号成立，即重心与外心重合等号成立. 1.（2023·新疆咯什素养大赛）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 【答案】A 【解析】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 2．（全国高中数学联赛湖南预赛）已知非零向量与满足且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】∵和分别是与和同向的单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴， ∴为等边三角形. 故选：D. 3．(清华大学学术能力测试)在中，，I为的内心，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 根据内心的性质可知， 于是 ， 于是． 故选：C. 4．（2023·湖南吉首教师解题大赛）已知中，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 由平面向量的加法法则可得是点到的距离， 依题意得为等腰直角三角形，斜边为斜边的两个四等分点， 因为，且， 所以点在线段上运动， 由图易得，当点在点处时，取得最小值， 由余弦定理，得， 所以. 故选：C. 5．(多选)（清华大学THUSSAT附加科目测试）如图，的外心为O，三条高线交于一点H，与的延长线交于点I，与的延长线交于点J，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】如图，连接. 对于选项A，因为A，C，D，F四点共圆，故，选项A正确． 对于选项B，C，如图，过点B作圆O的切线，则． 因为， 所以与平行，故，选项B正确，同理选项C正确. 对于选项D， 因为，故， 而 ， 故， 同理由可得， 由可得， 由可得， 由可得， 所以， 所以， 同理， 所以，故， 所以， 故即，因此，选项D正确． 故选：ABCD 6．（2024·全国数学联赛四川宜宾初赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 【答案】②③④ 【解析】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 7．(2024·上海数学竞赛)已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 如图,不妨设，则四点共圆. 由于，于是. 综上可知的最大值为. 8．(2023·安徽太和中学数学竞赛)直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 ． 【答案】 【解析】因，由向量加法和减法的几何意义知， 以线段OA，OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等， 从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形， 所以，从而O到直线的距离为， 所以，得. 9．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则= ． 【答案】 【解析】由三角形重心性质知，又， 所以， ， . 10．（第十二届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）已知半径为1，分别为其两条切线，切点分别为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】连接 ， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故的最小值为，    11．（第十二届-“枫叶新希望杯”全国数学大赛）如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 【解析】（1）依题意， =， 因为三点共线，故，解得． （2）因为，故， =，所以； ， 所以 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $