6.2　矩形的性质与判定 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 知识点1 矩形的定义 有一个角是_____的平行四边形是矩形． 知识点2 矩形的性质 1．一般性质：矩形具有___________的所有性质． 直角 平行四边形 2．特殊性质： (1)定理1： 矩形的四个角都是_____． 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝_____． 直角 90° (2)定理2：矩形的对角线_____． 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴_______． 相等 AC＝BD 3．矩形的对称性： 矩形既是_____对称图形，又是___对称图形，对称轴是过每组 对边中点的直线． 中心 轴 【注意】 矩形的两条对角线将矩形分成四个大的直角三角形或四个小的等腰三角形，因此矩形问题常放在等腰三角形或直角三角形中解决． 知识点3 直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的_____等于斜边的一半． 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD是斜边AB的中线， ∴CD＝AD＝BD＝__AB(或AB＝__CD)． 中线 2 考点1 矩形的定义及边角的性质 典例1 [2024·张家界期末]如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若AB＝4，DE＝2. (1)求证：BC＝BE； (2)求△BEC的面积． 思路导析 (1)由矩形的性质和角平分线的定义可得∠BEC＝ ∠ECB，则BC＝BE；(2)∠A＝90°，AB＝CD＝4，设BC＝BE＝x， 则AE＝x－2，根据AB2＋AE2＝BE2，求解x，得出BC的长，所以 △BEC的面积＝ BC·DC. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝CD＝4， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠ECB， ∴BC＝BE； 变式1 [2025·安徽模拟]如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长是( ) A．3 B．4 C．5 D．7 考点2 矩形对角线的性质 典例2 [2024·梁溪二模]如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC， BD的交点，过点O的直线分别与边DA，BC延长线交于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)若∠ADB＝2∠E，求证：AE＝ BD. 思路导析 (1)证明△OAE≌△OCF，可得结论；(2)因为AO＝DO，所以∠OAD＝∠ADB＝2∠E，根据三角形的外角可得∠E＝∠AOE，则AE＝AO，从而得结论． 变式2 [2025·雁江区期末]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若BC＝3，DC＝4，求四边形OCED的面积． 考点3 直角三角形斜边中线的性质 典例3 [2024·濮阳期中]如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上 的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE，BE，若CD＝4，AE＝5，则 DE的长为__． 3 思路导析 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可． 变式2 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． (1)求证：MN⊥DE； (2)若∠ECB＋∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． eq \f(1,2) eq \f(1,2) (2)设BC＝BE＝x， ∴AE＝x－2， ∵AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(x－2)2＝x2， ∴x＝5，即BC＝5， ∴△BEC的面积＝eq \f(1,2)BC·DC＝eq \f(1,2)×5×4＝10. 变式2 [2025·东莞市三模]如图，在矩形ABCD中，O为对角线交点，∠DAB的平分线交BD于点F，交CD于点E，∠EAC＝15°，AB＝2eq \r(3)，则△AOD的面积为( ) A．2eq \r(3)　 B．eq \r(6) C．2eq \r(2)　 D．eq \r(3) eq \f(1,2) 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△OAE和△OCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAE＝∠OCF，,OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，)) ∴△OAE≌△OCF(ASA)， ∴AE＝CF； (2)∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝eq \f(1,2)AC，OD＝eq \f(1,2)BD， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADB＝2∠E， ∵∠OAD＝∠E＋∠AOE， ∴∠E＝∠AOE，∴AE＝AO， ∴AE＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)BD. 变式1 [2025·望奎县期末]如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为( ) A．3 B．4 C．4eq \r(3)　 D．5 解：(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OC＝eq \f(1,2)AC，OD＝eq \f(1,2)BD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； (2)∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∴S△OCD＝eq \f(1,4)S矩形ABCD， ∵四边形OCED是菱形， ∴S菱形OCED＝2S△OCD＝eq \f(1,2)S矩形ABCD， ∵S矩形ABCD＝BC·DC＝4×3＝12， ∴S菱形OCED＝eq \f(1,2)×12＝6. 变式1 [2025·漳州二模]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是( ) A．AB＝5 B．OE＝eq \f(5,2) C．菱形的面积为48 D．点A到BC的距离为eq \f(24,5) 解：(1)证明：连接EM，DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵在Rt△DBC和Rt△EBC中，M是BC的中点， ∴DM＝eq \f(1,2)BC，EM＝eq \f(1,2)BC， ∴DM＝EM， ∵N是DE的中点，∴MN⊥DE； (2)在Rt△DBC中，M是BC的中点， ∴DM＝eq \f(1,2)BC＝BM，∴∠DBM＝∠BDM， 同理∠MEC＝∠MCE， ∵∠ECB＋∠DBC＝45°， ∴∠EMB＋∠DMC＝2(∠ECB＋∠DBC)＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵N是DE的中点，DE＝10，∴MN＝eq \f(1,2)DE＝5. $第2课时　矩形的判定 知识点 矩形的判定 1．定义法：有一个角是_____的平行四边形是矩形． 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝_____， ∴▱ABCD是矩形． 90° 直角 2．定理1：有_______是直角的四边形是矩形． 几何语言：如图所示， ∵_________＝_________＝___________＝90°， ∴四边形ABCD是矩形．(或∠B　∠C　∠D) 三个角 ∠A(∠B) ∠B(∠C) 或∠C(∠D) 3．定理2：对角线_____的平行四边形是矩形． 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形，且_______， ∴▱ABCD是矩形． 相等 AC＝BD 【注意】 判定矩形的两种基本思路： 考点1 用角判定四边形是矩形 典例1 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE.求证：四边形ADCF是矩形． 思路导析 由等腰三角形的性质得CD⊥AB，再证明四边形ADCF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论． 证明：∵AC＝BC，D是AB中点， ∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∵E是AC中点，∴AE＝EC， 又∵DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． 变式1 [2025·兴隆县一模]依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( ) 变式2 [2024·定西期末]如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD与∠CDA的平分线，AF与BH交于点E，CH与DF交于点G，连接EG，FH，求证：EG＝FH. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB＋∠EBA＝ (∠DAB＋∠ABC)＝ ×180°＝90°. ∴∠AEB＝∠HEF＝90°， 同理，∠AFD＝90°，∠DGC＝90°， ∴∠HGF＝∠DGC＝90°， ∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH. 考点2 用对角线判定四边形是矩形 典例2 [2024·浙江模拟]如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OAB＝∠OBA. (1)求证：▱ABCD是矩形； (2)若AD＝4，∠AOB＝120°，求对角线AC的长． 思路导析 (1)由等腰三角形的性质得OA＝OB，再由平行四边形 的性质得OB＝OD＝ BD，OA＝OC＝ AC，则BD＝AC，即可得出 结论；(2)由矩形的性质得∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，再由 含30°角的直角三角形的性质求解即可． (2)∵▱ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠ABD＝∠OAB＝30°， ∴BD＝2AD＝8， ∴AC＝BD＝8. 变式 [2025·咸安区期末]如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连接AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∵CF＝CD， ∴CF＝AB且CF∥AB ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵AD＝AF， ∴BC＝AF， ∴平行四边形ABFC是矩形． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)证明：∵∠OAB＝∠OBA， ∴OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝eq \f(1,2)BD，OA＝OC＝eq \f(1,2)AC， ∴BD＝AC， ∴▱ABCD是矩形； $第3课时　矩形的性质和判定的应用 知识点1 矩形的面积 1．S矩形ABCD＝AB·BC. 2．S矩形ABCD＝__S△ABC＝__S△AOB. 2 4 知识点2 矩形的性质和判定 解决矩形问题常添加的辅助线有： 1．连接对角线构造等腰三角形或直角三角形． 2．作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形． 考点1 矩形的面积及应用 典例1 [2025·南皮县期末]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝18，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E，则四边形AODE的面积为( ) A．24　 B．36 C．48　 D．72 思路导析 根据AE∥BD，DE∥AC，可以得到四边形AODE是平行四边形，再根据菱形的性质，可以得到OA和OD的值以及∠AOD的度数，从而可以判断四边形AODE是矩形，然后计算出矩形AODE的面积即可． 变式1 [2024·沧州模拟]将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是( ) A．∠EAF＝60° B．AB＝AF C．AD＝2AB D．AB＝EF 变式2 [2024·宁波期中]如图，点E是矩形ABCD内一点，连接AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就求△AEC的面积( ) A．△ABE与△BEC面积之差 B．△ADE与△BEC面积之差 C．△DEC与△BEC面积之差 D．△ADC与△DEC面积之差 考点2 矩形性质与判定的综合应用 典例2 [泰州中考]如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时， 四边形ADFE为矩形？请说明理由． 变式1 [2024·山东模拟]如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝5，延长DC至点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，∠AFC＝2∠D. (1)求证：四边形ABEC是矩形； (2)求▱ABCD的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D， ∵CE＝CD，∴AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BC＝2BF，AE＝2AF， ∵2∠D＝∠AFC＝∠ABC＋∠BAE， ∴∠ABC＝∠BAE， ∴AF＝BF，∴AE＝BC， ∴四边形ABEC是矩形； 变式2 已知菱形ABCD中，延长DC至点E，使CE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CB，分别连接DB，BE，EF，FD. (1)如图1，求证：四边形DBEF是矩形； (2)如图2，连接AE交BF于点G，连接DG，在不添加辅助线的情况下，请你写出与△ABG面积相等的三角形(不包括△ABG)． 解：(1)证明：∵CE＝CD，CF＝CB， ∴四边形DBEF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB， ∴CE＝CF， ∴BF＝DE， ∴四边形DBEF是矩形； ∴△ABG≌△ECG(ASA)， ∴S△ABG＝S△ECG，BG＝CG，AG＝EG， ∴S△BDG＝S△CDG，S△ABG＝S△BEG， ∵AD∥BG，∴S△ABG＝S△BDG， ∴S△ABG＝S△BDG＝S△ECG＝S△CDG＝S△BEG， ∴与△ABG面积相等的三角形是△BDG，△ECG，△CDG，△BEG. 解：(1)证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝eq \f(1,2)AB， ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB，∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； (2)当AF＝eq \f(1,2)BC时，四边形ADFE为矩形，理由： ∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝eq \f(1,2)BC， ∵AF＝eq \f(1,2)BC，∴AF＝DE， 由(1)得：四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． (2)∵四边形ABEC是矩形，AB＝2，BC＝5， ∴∠BAC＝90°， ∴AC＝eq \r(BC2－AB2)＝eq \r(52－22)＝eq \r(21)， ∴S▱ABCD＝AB·AC＝2eq \r(21)， ∴▱ABCD的面积为2eq \r(21). (2)∵四边形DBEF是矩形， ∴∠BDF＝90°，CD＝CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝CE，AD∥BG，AB∥CE， ∴∠ABG＝∠ECG，∠BAG＝∠CEG， 在△ABG和△ECG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABG＝∠ECG，,AB＝CE，,∠BAG＝∠CEG，)) $