专题05 导数在函数中的应用（竞赛培优专项训练,10大考点+竞赛强基）高二数学人教A版全国通用

专题05 导数在函数中的应用 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 研究不含参函数的单调性 3 考点二：由函数的单调性求参 3 考点三 研究含参函数的单调性 4 考点四 利用函数单调性解不等式 5 考点五 利用单调性比较大小 6 考点六 利用导数研究不含参函数的极值或最值 7 考点七 利用导数研究含参函数的极值或最值 8 考点八 由函数的极值求参 8 考点九 由函数的最值求参 9 考点十 导数的实际应用 10 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f'(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 [注意]　“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第一步，确定函数的定义域； 第二步，求出导函数f'(x)的零点； 第三步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [注意]　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零0常数的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合，其中为常数且． 知识点02 利用导数研究函数的极值和最值 1.函数的极值 条件 f'(x0)＝0 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. [注意]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数的最值 (1)最值点 最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 学生用书⬇第69页 x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0). 最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). (2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值. [注意]　函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【熟记重要结论(二级结论)】 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f'(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f'(x)＜0有解. 3.对于可导函数f(x)，“f'(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 4.若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 考点一 研究不含参函数的单调性 1．已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　) A.(0，4) B.， C. D.(－∞，0)，(1，4) 2．教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 考点二：由函数的单调性求参 4．已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 6．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 8．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 10．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 11．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 12．若函数在单调递减，则a的取值范围是 ． 13．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0). (1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 考点三 研究含参函数的单调性 14．已知函数，，讨论函数的单调性； 15．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 16．已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 考点四 利用函数单调性解不等式 17.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(1)＝3，且∀x∈R，f'＞1，则f＜2－x的解集为(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，1) C. D. 18．已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 20．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 21．定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点五 利用单调性比较大小 22．(多选)如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图象，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f(－2)＜f(－1) B.f(－1)＞f(0) C.f(1)＞f(3) D.f(2)＞f(4) 23．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 24．已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 25．已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 26.(多选)已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有(　　) A.ex－ey＞x－y B.ln x－ln y＞x－y C.ln x≥1－ D.＞ 27．(多选)已知，则（   ） A． B． C． D． 28.(多选)定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（） A． B． C． D． 考点六 利用导数研究不含参函数的极值或最值 29. (多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f'(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.f(－2)＞f(－1) B.x＝1是f(x)的极小值点 C.函数f(x)在(－1，1)上有极大值 D.x＝－3是f(x)的极大值点 30.已知函数y＝f(x)，其导数f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　) A.在上为增函数 B.在x＝1处取得极小值 C.在x＝0处取得极大值 D.在(4，＋∞)上为增函数 31．函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在上有最大值3，则f(x)在上的最小值为(　　) A.－37 B.－5 C.1 D.5 32．（多选）设函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．是的极大值点 C．当时， D． 考点七 利用导数研究含参函数的极值或最值 33．(多选)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，无极值点 B．当时，是的极大值点 C．，图象存在对称轴 D．，图象对称中心的横坐标不变 34．已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 35．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 考点八 由函数的极值求参 36．已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 39．已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 40．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．已知函数 有两个极值点 ，且 ，则 的取值范围是 . 42．已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为 . 考点九 由函数的最值求参 43．已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 45．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．（多选）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 47．已知函数，当时，函数的单调递增区间为 ；若函数的最大值为2，则的取值范围是 . 48．若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为 . 49．已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 50．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 考点十 导数的实际应用 51．在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ） A． B． C． D．5 52．学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 53．近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 54．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 1．（第十四届“枫叶新希望杯”高二竞赛）设函数 ，且，则当时，的导函数的极小值为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 2．（第十四届“枫叶新希望杯”高二竞赛）（2016高二·全国·竞赛）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 3．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）如图为一种在机场常见的一次性水杯，可简化为如下模型：设，在空间直角坐标系中，考虑顶点在原点，旋转轴为轴，高为，底面圆半径为的倒立的圆锥，水杯为该圆锥的侧面上的到轴距离不超过的部分（厚度忽略不计）．设为有效容积，即水面平行于平面时所盛水的最大体积，为水杯的侧面积，为了尽可能提高材料的利用率，我们要让最大，此时为（    ） A．1 B． C． D． 4．(多选)（2024·清华大学强基计划）．则（    ） A．若有两个解，则． B．若有最小值，则． C．若有最小值，则． D．若有两个解，则． 5．（2025·重庆高中数学联赛初赛）设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则 . 6．（2023·海南衍林杯学科竞赛）已知，则的大小关系是 . 7．（第十四届枫叶新希望杯竞赛）已知函数，则不等式的解集为 . 8．（2025·山东青岛竞赛）已知函数满足. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 9.(2025·北京大学强基计划)求的最大值与最小值之和. 10．(2025·东南大学强基计划)四面体满足，求四面体的体积的最大值． 11．（2024·清华大学强基计划）均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？ 12．（2025·山东青岛尖子生选择考试）已知函数，记的导函数为. (1)求的最小值； (2)设且，证明：； (3)证明：有两个极值点. 14．（2024·全国奥赛内蒙古初赛）已知函数. (1)当时，讨论在上的极值. (2)若是的极小值点，求的取值范围. 15．（2024·全国奥赛内蒙古初赛）已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值. 16.（2024·北京大学优秀中学生寒假学堂）中，求的最大值 17.（2024·集英苑冬季竞赛）设，函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在a，使得是上的单调递增函数，且是上的单调递增函数？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 18．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）设 (1)若，讨论的单调性; (2)若，求的最大值(用表示); (3)若恰有三个极值点，直接写出的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数在函数中的应用 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 研究不含参函数的单调性 3 考点二：由函数的单调性求参 4 考点三 研究含参函数的单调性 9 考点四 利用函数单调性解不等式 11 考点五 利用单调性比较大小 13 考点六 利用导数研究不含参函数的极值或最值 17 考点七 利用导数研究含参函数的极值或最值 19 考点八 由函数的极值求参 22 考点九 由函数的最值求参 26 考点十 导数的实际应用 33 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f'(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 [注意]　“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第一步，确定函数的定义域； 第二步，求出导函数f'(x)的零点； 第三步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [注意]　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零0常数的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合，其中为常数且． 知识点02 利用导数研究函数的极值和最值 1.函数的极值 条件 f'(x0)＝0 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. [注意]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数的最值 (1)最值点 最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 学生用书⬇第69页 x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0). 最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). (2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值. [注意]　函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【熟记重要结论(二级结论)】 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f'(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f'(x)＜0有解. 3.对于可导函数f(x)，“f'(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 4.若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 考点一 研究不含参函数的单调性 1．已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　) A.(0，4) B.， C. D.(－∞，0)，(1，4) 【答案】D 【解析】易知f'(x)过点(0，0)与，当x＜0或1＜x＜4时，f'(x)＞f(x)，即g'(x)＝＞0，则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1，4).故选D. 2．教材中给出习题“已知函数且a≠1），讨论函数f（x）的单调性”，对上述问题的解决过程，我们获取了复合函数单调性“同增异减”的判断原则，据此可以快速解决复合函数的相关问题.已知函数，则该函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题目信息，不妨令，则的减区间即为所求， 又，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：D. 3．设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 又，由，得，解得， 即的单调递减区间为． 设， 则. 由得，即， 又，则，解得， 即的单调递增区间为． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”． 故选：B 考点二：由函数的单调性求参 4．已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 5．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. 6．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 当单调递增，当单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围是. 故选：A 7．若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】令得， 令，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，， 所以，又在上不单调， 所以的取值范围是（当时，在恒成立，此时单调递减，不满足题意）， 结合选项得可能为． 故选：B. 8．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 9．已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 【答案】D 【解析】不妨设， 因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则．定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； ， 当时，，在单调递增； 当时，需在上恒成立，即在上恒成立， 对于图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立， 需满足且， 解得， 综合可得，即的取值范围为,． 故选：D. 10．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 11．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 12．若函数在单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 13．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0). (1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立.设G(x)＝－，x∈[1，4]， 所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－， 又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞). (2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则f'(x)＜0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a＞－有解， 又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)， 所以a＞－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞). 考点三 研究含参函数的单调性 14．已知函数，，讨论函数的单调性； 【解析】函数的定义域为，求导得到， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，令，即，解得， 当和时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减；在上单调递增； 15．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【解析】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 15．已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 考点四 利用函数单调性解不等式 17.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(1)＝3，且∀x∈R，f'＞1，则f＜2－x的解集为(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，1) C. D. 【答案】D 【解析】构造函数g(x)＝f(－x)＋x，g(－1)＝3－1＝2，g'(x)＝－f'(－x)＋1＜0，即函数g(x)在R上单调递减，f＜2－x等价于g(x)＜g(－1)，解得x＞－1.即f＜2－x的解集为.故选D. 18．已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，因为对任意的都有， 所以，所以在上单调递减， 不等式等价于， 即，所以，解得， 故选：D． 19．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 20．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 21．定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，∴， ∴，设，则在R上单调递减， ∵为奇函数，∴，∴， ∴，不等式， 即，解得.即该不等式的解集为. 故选：A. 考点五 利用单调性比较大小 22．(多选)如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图象，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f(－2)＜f(－1) B.f(－1)＞f(0) C.f(1)＞f(3) D.f(2)＞f(4) 【答案】AD 【解析】由题意可知：当x∈[－2，2]时，f'(x)≥0；当x∈(2，4]时，f'(x)≤0；可知f(x)在[－2，2]内单调递增，在(2，4]内单调递减，可得f(－2)＜f(－1)，f(－1)＜f(0)，f(2)＞f(4)，故A、D正确，B错误；又因为x＝1，x＝3不在同一单调区间内，所以无法比较f(1)，f(3)的大小，故C错误.故选AD. 23．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D 24．已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令函数，则， 由可得，当时，，当时，， 因此可得在上单调递减， 因为，所以，即， 因此，即，可得，即； 显然均大于0，又，可得； 同理可知，所以，即， 因此，即，可得，即； 即可得. 故选：B 25．已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，，，且， 若，则，，此时，故，同理， 构造函数，其中，， 则原等式等价于，，， 对求导得， 因为且，所以，，， 所以，即在上单调递增， 由可得， 所以， 令，则， 由指数函数和对数函数的单调性可得，， 所以，单调递增，所以， 所以， 因为且在上单调递增，所以， 同理由可得， 所以， 同理可得， 因为且在上单调递增，所以， 综上， 故选：A 26.(多选)已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有(　　) A.ex－ey＞x－y B.ln x－ln y＞x－y C.ln x≥1－ D.＞ 【答案】ACD 【解析】设f(x)＝ex－x，则f'(x)＝ex－1＞0，f(x)在(0，＋∞)单调递增，所以f(x)＞f，即ex－x＞ey－y，即ex－ey＞x－y，故A正确；令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y＜x－y，故B不正确；设h(x)＝ln x－1＋(x＞0)，则h'(x)＝－＝，当0＜x＜1时，h'(x)＝＜0，函数h(x)单调递减；当x＞1时，h'(x)＝＞0，函数h(x)单调递增；则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，故C正确；设g(x)＝x·ex，则g'(x)＝ex＞0，所以g(x)＝x·ex在(0，＋∞)上是增函数，所以由x＞y＞0得x·ex＞y·ey，即＞，故D正确.故选ACD. 27．(多选)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由得，故，故，A选项错误； 对于B，由得，故，，B选项正确； 对于C，取，满足，，不满足，故错误； 对于D，令，，当时，显然成立， 当时，，亦成立，故函数在上单调递增， 故当时，，即，故D选项正确. 故选：BD 28.(多选)定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】选项A：由且，得， 由可得在单调递增， 于是，A选项正确； 选项B：令，则单调递增， 故， 取对数得：，B选项错误； 选项C，单调递增，等价于， 又，则，矛盾， 故，C选项错误； 由B选项单调递增，， 需证，设，则证， 因为，故， 又，故， 即，D选项正确. 故选：AD 考点六 利用导数研究不含参函数的极值或最值 29. (多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f'(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.f(－2)＞f(－1) B.x＝1是f(x)的极小值点 C.函数f(x)在(－1，1)上有极大值 D.x＝－3是f(x)的极大值点 【答案】AD 【解析】由y＝f'(x)的图象可知：当x∈(－∞，－3)时，f'(x)＞0，所以函数f(x)单调递增；当x∈(－3，－1)时，f'(x)＜0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(－2)＞f(－1)，x＝－3是f(x)的极大值点，故A、D正确；当x∈(－1，1)，或x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，所以函数f(x)在(－1，1)和(1，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)在(－1，1)上没有极大值，且x＝1不是f(x)的极小值点，故B、C不正确.故选AD. 30.已知函数y＝f(x)，其导数f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　) A.在上为增函数 B.在x＝1处取得极小值 C.在x＝0处取得极大值 D.在(4，＋∞)上为增函数 【答案】D 【解析】由导函数f'(x)的图象可知，函数f(x)在(－∞，－1)，(1，4)上单调递减，在(－1，1)，(4，＋∞)上单调递增，在x＝－1和x＝4处取得极小值，在x＝1处取得极大值，故A、B、C错误，D正确.故选D. 31．函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在上有最大值3，则f(x)在上的最小值为(　　) A.－37 B.－5 C.1 D.5 【答案】A 【解析】由f(x)＝2x3－6x2＋m，得f'(x)＝6x2－12x＝6x，故当x∈时，f'(x)＞0，f(x)在区间上单调递增，当x∈时，f'(x)≤0，f(x)在区间上单调递减，故当x＝0时，f(x)取得最大值，即f(0)＝m＝3，此时f(x)＝2x3－6x2＋3，当x∈，f(x)≥f(－2)＝－37，当x∈(0，2]时，f(x)≥f(2)＝－5，故最小值为f(－2)＝－37.故选A. 32．（多选）设函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．是的极大值点 C．当时， D． 【答案】AD 【解析】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确； 对于B，，令，解得：, 令，解得：或, 令，解得：, 所以函数在和递增，在递减， 则是的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数在和递增，在递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误： 对于D选项，由于，D选项正确. 故选：AD 考点七 利用导数研究含参函数的极值或最值 33．(多选)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，无极值点 B．当时，是的极大值点 C．，图象存在对称轴 D．，图象对称中心的横坐标不变 【答案】ABD 【解析】对于A：因为，则， 当时，所以恒成立， 所以在上单调递增，所以无极值点，故A正确； 对于B：当时， 所以当或时，当时， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以是的极大值点，故B正确； 对于C：对，当时，当时， 所以不存在对称轴，故C错误； 对于D：因为，， 所以 ， 所以关于对称，所以，图象对称中心的横坐标不变，均为，故D正确. 故选：ABD 34．已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【解析】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． 35．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 【解析】（1）， 当时，，， 则， 则曲线在点处的切线方程为； （2）由（1）知，， 令得或， ①若，则， 当时，；当时，；， 则在上恒成立，故在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； ②若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极小值点，不符合题意； ③若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极大值点，符合题意； 综上，的取值范围为； （3）在上存在最大值， 由（2）知，若，则在上单调递减，不存在最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 若，即，则在上单调递增， 则最大值为， 因为在上单调递减，， 所以； 若，即，则在上单调递增，在上单调递减， 则最大值为， 因为在上单调递减， 当时，；当时，， 所以； 综上，的取值范围为，的值域为. 考点八 由函数的极值求参 36．已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】， 令，得或，则. 设，，则， 当时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 由的单调性可知，当为整数时，最大值在或处取得， 又， 故. 故选：B. 37．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 38．若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 39．已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导得， “函数在上有极值”等价于“在上有根”， 即有正实数根， 由于当时的值域为, 所以有正实数根等价于，即. 所以“函数在上有极值”的充分必要条件是“” 显然，BCD项均不满足函数在上有极值的充分条件. 只有A中是的充分必要条件， 故选：A. 40．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 41．已知函数 有两个极值点 ，且 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，则， 有两个极值点 ， 有两个解， 与的图象有两个交点， 作出图象如图所示，    设过原点的切线斜率为，切点为，， 则， 对求导，， 则切线方程为， 又因为直线过原点，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 42．已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意的两个根为与， 即，所以， 同理，即， 令，则为方程的两个不相等实根， ，则， 所以判别式，解得. 又 ，所以， 综上，实数的取值范围. 考点九 由函数的最值求参 43．已知 为正实数， 为自然对数的底数，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为正实数，所以，所以，当且仅当时等号成立. 设，令则 ，当时，， 当 时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 当，即时取得最大值为，则的最大值为. 故选：C. 44．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 45．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知，所以，即有，得到， 所以， 函数定义域为, 得到，所以， 故， 有，此时，函数为奇函数， 即，满足题意， 所以，定义域为， 当时，， 函数，在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递增； 当时，， ， 由，得到 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点，当时，， 结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：D. 46．（多选）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【解析】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 47．已知函数，当时，函数的单调递增区间为 ；若函数的最大值为2，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】（1）当时，， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，，解得， 所以当时，，当时，， 所以时，函数的单调递增区间为. （2）因为时，恒成立，故在上的最大值为. 设，则， 故或时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 且的极大值为，令，则， 故，故， 故当时，，且在上的最大值为. 若，则由的单调性可得在为减函数， 故，不合题意，舍； 若，则由的单调性可得在上为减函数， 在为增函数，在上为减函数，且， 而，故，故，不合题意，舍； 若，同理可得， 而，故，符合； 当，由的单调性可得在为减函数，故， 符合； 综上，. 故答案为：， 48．若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 令，原式可化为，， 当，，单调递增；当，，单调递减， 则时，取得最小值1，所以有解，即有解. 记，， 当，，在单调递增， 当，，在单调递减. 故，且当，，，， 所以，得，所以实数的取值范围为. 49．已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 【解析】（1）由，得， 由题意得，， 得，解得. （2）由（1）知， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 则在区间上的最大值为，解得. （3）由（2）知，在和上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，取得极大值. 要使函数的图象与轴恰有三个交点，则， 解得，即的取值范围是. 50．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【解析】（1）当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． （2）因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 考点十 导数的实际应用 51．在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，， 所以正六棱柱容器的容积为， 由知， 当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 故选：C 52．学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【解析】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 53．近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 54．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【解析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 1．（第十四届“枫叶新希望杯”高二竞赛）设函数 ，且，则当时，的导函数的极小值为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】当时，，， 当时，，， 由可知，解得 ， ∴当时，， 设则， 当，；当，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 即的极小值为， 故选：. 2．（第十四届“枫叶新希望杯”高二竞赛）（2016高二·全国·竞赛）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】函数既是二次函数又是幂函数，则， 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则， 结合图象得，. 由，且，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值. 故选：B 3．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）如图为一种在机场常见的一次性水杯，可简化为如下模型：设，在空间直角坐标系中，考虑顶点在原点，旋转轴为轴，高为，底面圆半径为的倒立的圆锥，水杯为该圆锥的侧面上的到轴距离不超过的部分（厚度忽略不计）．设为有效容积，即水面平行于平面时所盛水的最大体积，为水杯的侧面积，为了尽可能提高材料的利用率，我们要让最大，此时为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥母线与高的夹角为，则，， 易得水杯侧面方程为①，②， 联立①②得（水杯在正投影为椭圆）， 对侧面方程，求关于的偏导数得 ，则， 根据曲面面积公式有，， 即，对于椭圆（其中）， ， 故圆锥侧面面积， 当时，结合①②知，故水面高度， 此时水面半径， ， ，求最大值等价于求， 令，，则，， 令，当时，，，在上单调递增， 当时，，则，则在上单调递减， 即时，取得最大值，此时，. 故选：D. 4．(多选)（2024·清华大学强基计划）．则（    ） A．若有两个解，则． B．若有最小值，则． C．若有最小值，则． D．若有两个解，则． 【答案】AD 【解析】由函数，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，函数取得极大值，极大值为， 且当，，当时，， 所以有两个解，则，所以A正确； 当时，方程恒有根，取得最小值0都成立； 当时， ，所以， 即时，恒有最小值，所以B、C都不正确； 设，令， 可得， 当时，且，所以，可得， 所以在单调递增，所以， 所以在时，， 又由时，，所以，且，在上单调递增， 又因为有两个解，则， 不妨令，则， 由，因为，所以， 又因为，所以， 因为，可得，且，且函数在为单调递增函数， 所以，所以，所以D正确. 故选：AD. 5．（2025·重庆高中数学联赛初赛）设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则 . 【解析】由且知，. 注意满足， 故在区间上的最大值即为在区间上的最大值. 又注意在区间上， 故在区间上的最大值即为在区间上的最大值，从而； 而，而当时，有， 所以在区间上单调递增，又，故在区间上单调递增， 而又注意到在区间上， 所以在区间上的最大值， 所以. 6．（2023·海南衍林杯学科竞赛）已知，则的大小关系是 . 【答案】 【解析】首先证明当时， 构造单位圆，如图所示： 则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即， 即， 所以当时，，又， 所以，即，，所以，所以， 对于与， 当时，， 则， 所以，即， 事实上：令，， 则， 令，，则， 所以在上单调递减，又，所以在恒成立， 所以，所以在上单调递减， 又当时，所以， 所以，故， 综上可得. 7．（第十四届枫叶新希望杯竞赛）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】构造函数.由， 可得，因为， 所以为定义域内的偶函数，， ，得 ， 可判断在上为递增函数. 不等式可转化为. 8．（2025·山东青岛竞赛）已知函数满足. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）令，则 ， 即，，令，， 而 ，为奇函数， 得到，则，解得 （2），为增函数， ，， 即，即， 解得，故不等式的解集为. 9.(2025·北京大学强基计划)求的最大值与最小值之和. 【答案】 【解析】因为，所以，， ，单调递增，故此时, ，， 令，由于均在单调递减，故在单调递减，所以，所以，，左右平方得 ，单调递增， ，单调递减， 所以当时，， 当时，，故当时，， 综上可得 所以的最大值与最小值之和为. 10．(2025·东南大学强基计划)四面体满足，求四面体的体积的最大值． 【答案】 【解析】在四面体中，设中点为，， ，， ， 又平面，所以平面， 则四面体的体积， ， 当时，， 此时， 令，，，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，故， 即当时，取得最大值. 所以四面体的体积的最大值为. 11．（2024·清华大学强基计划）均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？ 【答案】存在，的最大值为3，最小值为. 【解析】由题意知，， 令则，且 令，则，令，则 递增，递减；所以，此时， 因此 所以的最大，最小值存在，的最大值为3，最小值为. 12．（2025·山东青岛尖子生选择考试）已知函数，记的导函数为. (1)求的最小值； (2)设且，证明：； (3)证明：有两个极值点. 【解析】（1）由题意， ，令，则 当，，单调递减；当，，单调递增， 所以，故函数的最小值为； （2）由（1）知，所以，当且仅当时间“=”， 所以当时，，，，…，， 相乘得. （3）由（1）知， ， 由零点存在性定理知，在区间，上各有一个零点. 即存在，，使得， 所以在上，，单调递增，在上，，单调递减 在上，，单调递增，所以有两个极值点， 14．（2024·全国奥赛内蒙古初赛）已知函数. (1)当时，讨论在上的极值. (2)若是的极小值点，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，， 构建， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 可知当时，；当时，； 注意到当时，与的符号性一致， 即当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以在上的极大值为，无极小值. （2）因为， 对于函数，且， 可知存在实数，使得在内恒成立， 构建函数， 可知当时，与符号相同，且， 所以是的极小值点等价于是的极小值点， 因为，则， 构建，则， ①当，即时，则存在， 使得在内单调递减，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递增，在内单调递减， 可知是的极大值点，不合题意； ②当，即时，则存在， 使得在内单调递增，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递减，在内单调递增， 可知是的极小值点，符合题意； ③当，即时，可知在上恒成立， 此时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 可知在内恒成立，即在内恒成立， 则在内单调递增，不为的极值点，不合题意 综上所述：的取值范围是. 15．（2024·全国奥赛内蒙古初赛）已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值. 【解析】 设,将与双曲线方程联立， 整理可得， 由于与双曲线左右两支相交于两点,于是有， 由，可得， 因此, 设,故点所对应的切点弦为, 即为，故可得,, 故, 令，代入上式有, 令,设,则, 当时，；当时，. 故最大值为, 因此三角形面积的最小值为. 16.（2024·北京大学优秀中学生寒假学堂）中，求的最大值 【答案】 【解析】令 ，其中， 所以， 设，， 则显然有，， 因此只需考虑在上的最大值， 求导可得， 令，可得， 则其在上的解为， 于是. 所以的最大值是. 17.（2024·集英苑冬季竞赛）设，函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在a，使得是上的单调递增函数，且是上的单调递增函数？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，， 令得，令得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）不存在，理由如下： 假设存在a，使得是上的单调递增函数，且是上的单调递增函数. 令，则是上的单调递增函数. 又也是上的单调递增函数，令， 则是上的单调递增函数. 但由（1）知函数在上不单调. 故不存在a，使得是上的单调递增函数，且是上的单调递增函数. 18．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）设 (1)若，讨论的单调性; (2)若，求的最大值(用表示); (3)若恰有三个极值点，直接写出的取值范围. 【解析】（1）时，，故， 令，则， 故在上为减函数，而， 故在上，即，在上，即. 故的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 设，， 则，故在为减函数， 而时，，而， 故在上存在唯一的使得， 且当时，即，当时，即 故在上为增函数，在为减函数， 故，其中， 即即， 设，则，故为上的增函数， 而，故，，故， 故. （3）结合（2）可知， 且，有三个不同的变号零点， 而即， 令，， 则， 故当或时，， 当或时，， 故在，上递增； 在，上递减， 而，故， 若，则， 而当时，， 故在上恒成立即在上恒成立， 所以在上为减函数，故至多有一个零点，不合题意. 若即即， 此时， 因，故， 而当时，， 故在上有且只有两个零点， 设它们分别为，且， 故当时，即， 当时，即， 故在为减函数，在上为增函数， 因为，故，故， ， 令，则， 故在上为增函数，故，故， 故，故. ， 设，，则， 故在为增函数，故，所以， 又时，，时，， 故此时有三个不同的零点， 综上，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $