6.2.1 排列（分层作业，3基础+能力&拓展提升题型）高二数学人教A版选择性必修第三册

6.2 排列与组合 6.2.1 排列 题型一 排列的概念 1．（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 3．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 4．（多选）（24-25高二下·广东东莞·月考）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 题型二 画树形图写排列 1．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法． 2.写出下列问题的所有排列: (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数. (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数,试全部列出. 题型三 简单的排列问题 1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 2.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　) A．15 B．30 C．12 D．36 3．（24-25高二下·四川达州·期末）从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（    ） A．6 B． C．30 D．36 【 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是 ． 1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B．甲乙丙、乙丙甲 C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D．甲乙、甲丙、乙丙 2．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有(　　) A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 4．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 5．（24-25高二下·天津河西·月考）从6名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法共有 . 6．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法． 7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________． 8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________． 9.（25-26高二·全国·课后作业）判断下列问题是否为排列问题 （1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? （3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 10．（25-26高二·全国·课后作业）写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ （2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？ 11．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ 1．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 3．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 题型一 排列的概念 1．（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 3．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【解析】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 4．（多选）（24-25高二下·广东东莞·月考）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 【答案】ACD 【解析】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同,与顺序有关，是排列问题； 对于D，从数字从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：ACD. 题型二 画树形图写排列 1．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法． 【解析】树形图(如图)： 由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA. 2.写出下列问题的所有排列: (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数. (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数,试全部列出. 【解析】(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数. (2)画出树状图,如图所示. 由上面的树状图可知,所有的四位数为: 1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321,共24个四位数. 题型三 简单的排列问题 1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（    ）种 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】根据题意，从中取出2个字母的所有排列， 共有种. 故选：D. 2.沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　) A．15 B．30 C．12 D．36 【答案】B 【解析】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)． 3．（24-25高二下·四川达州·期末）从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（    ） A．6 B． C．30 D．36 【答案】C 【解析】根据题意可知选出2人并担任不同职务，因此相当于选出两人并按照顺序排列， 所以根据排列数的概念可得：不同的选择方法数为. 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是 ． 【答案】 【解析】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B．甲乙丙、乙丙甲 C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D．甲乙、甲丙、乙丙 【答案】C 【解析】从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙． 2．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有(　　) A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】BD 【解析】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD. 3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【解析】列树形图如下： 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种． 4．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法． 5．（24-25高二下·天津河西·月考）从6名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法共有 . 【答案】120 【解析】从6名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法共有. 6．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法． 【答案】 680 【解析】将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)． 7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________． 【答案】60 【解析】由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)． 8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________． 【答案】12，bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 【解析】画出树形图如下： 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 9.（25-26高二·全国·课后作业）判断下列问题是否为排列问题 （1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? （3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线中，不管a>b还是a<b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 10．（25-26高二·全国·课后作业）写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ （2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？ 【解析】（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种； （2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类： 由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种． 11．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ 【解析】(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一． 第一步，得首位数字，有6种不同结果； 第二步，得十位数字，有5种不同结果； 第三步，得个位数字，有4种不同结果． 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)． (2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)． 1．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【解析】本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为： 由此可知共有12个符合题意的四位数． 2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解析】若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法． 3．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． 【解析】如图， 由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $