专题14不等式与一元一次不等式知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题14不等式与一元一次不等式（举一反三讲义） 【题型01 不等式的定义】.............................................3 【题型02 不等式的解集】.............................................3 【题型03 不等式的性质】.............................................4 【题型04 一元一次不等式的定义】.....................................4 【题型05 求一元一次不等式的解集】...................................4 【题型06 求一元一次不等式的整数解】.................................5 【题型07 在数轴上表示不等式的解集】.................................5 【题型08 求一元一次不等式解的最值】.................................6 【题型09 列一元一次不等式】.........................................6 【题型10 用一元一次不等式解决实际问题】.............................7 【题型11 用一元一次不等式解决几何问题】.............................7 【解答题 6题】......................................................8 知识梳理 知识点01:不等式的概念 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示大小关系的式子，叫不等式。 常见不等号： ＞ 大于 ＜ 小于 ≥ 大于或等于（不小于） ≤ 小于或等于（不大于） ≠ 不等于 知识点02:不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 解集：一个不等式所有解的全体。 解集在数轴上表示： ＞、＜：空心圆圈 ≥、≤：实心圆点 方向：大于向右，小于向左 知识点03:不等式的性质（必考） 1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a>b⇒a±c>b±c 2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 a>b, c>0⇒ac>bc,  3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。a>b, c<0⇒ac<bc,  易错点：乘除负数一定要变号。 知识点04:一元一次不等式定义 只含一个未知数 未知数次数是1 不等号两边都是整式形如：ax+b>0(a0) 知识点05:解一元一次不等式的一般步骤 1.去分母（注意：分母是负数时，不等号要变号） 3.移项（移项要变号） 5.系数化为 1（除以负数，不等号方向改变） 知识点06:一元一次不等式的实际应用 步骤： 1.设未知数 2.找不等关系（至少、至多、不超过、不少于、不够等） 3.列不等式 4.解不等式 5.结合实际意义写答案 【题型1.不等式的定义】 【典例】x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【跟踪专练3】某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 【题型2.不等式的解集】 【典例】假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【跟踪专练1】某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【跟踪专练2】写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 【跟踪专练3】下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【题型3.不等式的性质】 【典例】若，且，那么 （填“” “”或“”）． 【跟踪专练1】若，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果，那么 ， ．（填“＞”或“＜”） 【跟踪专练3】已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【跟踪专练1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【跟踪专练3】下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5.求一元一次不等式的解集】 【典例】不等式的解集是 ． 【跟踪专练1】如果的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于，那么下列关于物体受力面积的说法正确的是（   ）． A．S小于 B．S大于 C．S等于 D．S大于 【跟踪专练2】一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 ． 【跟踪专练3】定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6.求一元一次不等式的整数解】 【典例】写出不等式的一个正整数解 ． 【跟踪专练1】满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【跟踪专练2】已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ． 【跟踪专练3】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7.在数轴上表示不等式的解集】 【典例】若关于的不等式组的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 【跟踪专练3】将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A．B．C．D． 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【跟踪专练2】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型9.列一元一次不等式】 【典例】用不等式表示：x的4倍与3的差是正数：________． 【跟踪专练1】把一些书分给名同学，若每人分本则不够，若每人分本，则正好剩余本．依题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”： ． 【跟踪专练3】教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【题型10.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】把5个体积为的立方体铅块熔化后，最多能制成 个体积为的立方体铅块． 【跟踪专练1】某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【跟踪专练2】某次数学竞赛共有20道选择题，规定答对一题得5分，答错或不答一题倒扣2分．某位学生成绩要不低于60分，则至少要答对 道题． 【跟踪专练3】喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 【题型11.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【跟踪专练2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中， 是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 解答题 1．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 2．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    4．某部队在执行一次任务时，准备将人员编成8个组．若每组人数比预定人数多1，总人数将超过100，则预定每组分配的人数至少为多少？ 5．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 6．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14不等式与一元一次不等式（举一反三讲义） 【题型01 不等式的定义】.............................................3 【题型02 不等式的解集】.............................................4 【题型03 不等式的性质】.............................................6 【题型04 一元一次不等式的定义】.....................................8 【题型05 求一元一次不等式的解集】..................................10 【题型06 求一元一次不等式的整数解】................................11 【题型07 在数轴上表示不等式的解集】................................13 【题型08 求一元一次不等式解的最值】................................15 【题型09 列一元一次不等式】........................................17 【题型10 用一元一次不等式解决实际问题】............................18 【题型11 用一元一次不等式解决几何问题】............................21 【解答题 6题】.....................................................24 知识梳理 知识点01:不等式的概念 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示大小关系的式子，叫不等式。 常见不等号： ＞ 大于 ＜ 小于 ≥ 大于或等于（不小于） ≤ 小于或等于（不大于） ≠ 不等于 知识点02:不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 解集：一个不等式所有解的全体。 解集在数轴上表示： ＞、＜：空心圆圈 ≥、≤：实心圆点 方向：大于向右，小于向左 知识点03:不等式的性质（必考） 1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a>b⇒a±c>b±c 2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 a>b, c>0⇒ac>bc,  3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。a>b, c<0⇒ac<bc,  易错点：乘除负数一定要变号。 知识点04:一元一次不等式定义 只含一个未知数 未知数次数是1 不等号两边都是整式形如：ax+b>0(a0) 知识点05:解一元一次不等式的一般步骤 1.去分母（注意：分母是负数时，不等号要变号） 2.去括号 3.移项（移项要变号） 4.合并同类项 5.系数化为 1（除以负数，不等号方向改变） 知识点06:一元一次不等式的实际应用 步骤： 1.设未知数 2.找不等关系（至少、至多、不超过、不少于、不够等） 3.列不等式 4.解不等式 5.结合实际意义写答案 【题型1.不等式的定义】 【典例】x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③3；④；⑤．其中不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握用不等号连接的式子是不等式，等式和单独的代数式不是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如等）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用，是不等式； ② 使用，是不等式； ③ 使用，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用，是不等式； ∴不等式有①、②、⑤，共个． 故选：C． 【跟踪专练2】（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 【跟踪专练3】某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（  ） A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33 【答案】D 【分析】已知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温． 【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间， ∴该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33； 故选：D． 【点睛】本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温和最低气温之间． 【题型2.不等式的解集】 【典例】假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】答案不唯一 【分析】根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 则， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，理解题意是解题的关键． 【跟踪专练1】某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【跟踪专练2】写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【详解】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 【跟踪专练3】下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； C选项，的解集是，解不等式得，故正确； D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 【题型3.不等式的性质】 【典例】若，且，那么 （填“” “”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为： ． 【跟踪专练1】若，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式两边同时乘以负数时不等号方向改变，可判断选项A正确，根据不等式两边同时减去同一数时不等号方向不变，可判断选项B错误，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项C错误，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向应不变，可判断选项D错误． 【详解】解：∵，∴，A正确； ∵，∴，B错误； ∵，∴，C错误； ∵，∴，D错误； 故选：A． 【跟踪专练2】如果，那么 ， ．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 由已知不等式，两边同除以（负数），不等号方向改变，得到；然后利用不等式的性质，分别判断与、与的大小关系即可． 【详解】解：， ． ，根据不等式性质，两边同乘正数，不等号方向不变， ，两边同乘，不等号方向改变， ； ∵两边同时加上，不等号方向不变， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练3】已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：，， 由得：，故A选项错误，不符合题意； 由①得：， 将代入②得：， 整理得：，故B选项错误，不符合题意； 为非负实数， ，，故C选项错误，不符合题意； ， ， ， ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的概念；根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，因此令指数表达式 等于 1，求解 即可． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式， ∴ 的次数必须为 1，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为2． 【跟踪专练1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一元一次不等式，故该选项符合题意； B、不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； C、是一元一次方程，属于等式，故该选项不符合题意； D、是二元一次不等式，故该选项不符合题意， 故选A． 【跟踪专练2】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 【跟踪专练3】下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 【题型5.求一元一次不等式的解集】 【典例】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，掌握解不等式的性质是解题的关键． 移项，合并同类项，再把化系数为1即可． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 故答案为： 【跟踪专练1】如果的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于，那么下列关于物体受力面积的说法正确的是（   ）． A．S小于 B．S大于 C．S等于 D．S大于 【答案】A 【分析】本题考查了压强，熟练掌握压强的计算公式和公式变形计算，是解题的关键． 根据压强公式，代入数值后变形求解S的取值范围． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 【题型6.求一元一次不等式的整数解】 【典例】写出不等式的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 【跟踪专练1】满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键． 通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小整数解为7． 故选：B． 【跟踪专练2】已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ． 【答案】1 【分析】先将已知的解代入不等式，得到一个关于的不等式，再解这个不等式，最后在解集中找到最小的整数解． 【详解】解:∵是不等式的一个解， ∴代入得：． 即， 移项得： ， ， 两边同时除以（不等号方向反转）： ， ∴． 故整数的最小整数解是． 故答案为:． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是准确代入解并正确解不等式，注意在不等式两边除以负数时要改变不等号的方向． 【跟踪专练3】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 【题型7.在数轴上表示不等式的解集】 【典例】若关于的不等式组的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集． 根据数轴作答即可． 【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集为， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 【跟踪专练2】在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出了即可． 【详解】解：， 解不等式①： ， ； 解不等式②： ， ， ； 不等式组的解集为， 故选：B． 【题型8.求一元一次不等式解的最值】 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【跟踪专练2】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【题型9.列一元一次不等式】 【典例】用不等式表示：x的4倍与3的差是正数：________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，“的4倍”即，“与3的差”即，“是正数”即大于0，因此可得不等式，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】把一些书分给名同学，若每人分本则不够，若每人分本，则正好剩余本．依题意，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，解决问题的关键是弄清题意，找到关键语句，确定各量间的关系．根据题意，书的总数不变，每人分本不够，即总数小于；每人分本剩余本，即总数等于，从而列出不等式． 【详解】解：设书的总数为本， 每人分本不够， ， 每人分本，则正好剩余本， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”： ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的列法，熟悉掌握不等式的列式方法是解题的关键． 根据题意列出式子即可． 【详解】解：由题意可得：； 故答案为：． 【跟踪专练3】教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 【题型10.用一元一次不等式解决实际问题】 【典例】把5个体积为的立方体铅块熔化后，最多能制成 个体积为的立方体铅块． 【答案】7 【分析】本题考查一元一次不等式的应用能力，设的立方体铅块的个数，表示出相关不等关系是解题关键．设把5个体积为的立方体铅块熔化后，能制成x个体积为的立方体铅块，列不等式即可求解． 【详解】解：设把5个体积为的立方体铅块熔化后，能制成x个体积为的立方体铅块． 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最大值为7，即最多能制成7个体积为的立方体铅块． 故答案为：7． 【跟踪专练1】某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 【跟踪专练2】某次数学竞赛共有20道选择题，规定答对一题得5分，答错或不答一题倒扣2分．某位学生成绩要不低于60分，则至少要答对 道题． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对x道题，根据得分规则列出不等式，求解后取最小整数解即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答道题， 由题意得：． 解不等式：， ， ， ． 因为x为整数，所以． 答：至少答对15道题． 故答案为：15． 【跟踪专练3】喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， 第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；即 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 a a a 第2组 b b b 第3组 c c c 第4组 d d d ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， a+b≤14①，b+c≤14②，a+c+d=14③，b+d≤14④， ①+②+2×③+④≤70得，a+b+b+c+2（a+c+d）+b+d≤70， ∴3（a+b+c+d）≤70， ∴a+b+c+d≤， 7天后背诵首，取整数解即23 ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【题型11.用一元一次不等式解决几何问题】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【跟踪专练3】若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中， 是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． 解答题 1．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． （1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出； （2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出； （3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：． 2．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据解不等式的方法解出不等式的解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示．    4．某部队在执行一次任务时，准备将人员编成8个组．若每组人数比预定人数多1，总人数将超过100，则预定每组分配的人数至少为多少？ 【答案】预定每组分配的人数至少为12． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设预定每组分配的人数人，根据“每组人数比预定人数多，总人数将超过”，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出结论． 【详解】解：设预定每组分配的人数为人， 依题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为． 答：预定每组分配的人数至少为人． 5．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 6．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值． 【答案】；5 【分析】教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案； 拓展：先把m看作常数，利用加减消元法解关于x、y的方程组，然后把x、y的值代入，解不等式即可确定m的最小整数值． 【详解】教材呈现：解：， 移项得：， 化系数为1得：， ∵关于x方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴k的取值范围． 拓展：解：， ①×3得：④， ②×2得：⑤， ⑤-④得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； ∵， ∴， 解得：， ∴m的最小整数值是5． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式的最小整数，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $