专题13二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题13二元一次方程组的应用（举一反三讲义） 【题型01 根据实际问题列二元一次方程组】.............................3 【题型02 根据几何图形列二元一次方程组】.............................5 【题型03 二元一次方程组应用:方案问题】..............................9 【题型04 二元一次方程组应用:行程问题】.............................12 【题型05 二元一次方程组应用:工程问题】.............................14 【题型06 二元一次方程组应用:数字问题】.............................17 【题型07 二元一次方程组应用:年龄问题】.............................20 【题型08 二元一次方程组应用:分配问题】.............................22 【题型09 二元一次方程组应用:销售利润问题】.........................24 【题型10 二元一次方程组应用:和差倍分问题】.........................27 【题型11 二元一次方程组应用:几何问题】.............................29 【题型12 二元一次方程组应用:图表信息问题】.........................32 【题型13 二元一次方程组应用:古代问题】.............................36 【题型14 二元一次方程组应用:其他实际问题】.........................38 知识梳理 知识点01: 二元一次方程组解决实际问题的 一般步骤 1.审：读懂题意，找出已知量、未知量。 2.设：设两个未知数（一般用 x、y）。 3.找：从题目中找出 两个独立的等量关系。 4.列：根据等量关系列出 二元一次方程组。 5.解：用代入消元法或加减消元法解方程组。 6.验： 检验解是否满足方程组； 检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负、分数要合理）。 7.答：写出完整答案。 知识点02:应用题核心公式 1. 和差倍分问题 已知两数和、差 已知两数和、倍数关系 已知两数差、倍数关系 2. 数字问题（两位数） 两位数：十位 x，个位 y 原数：10x+y 交换后：10y+x 3. 年龄问题 核心：年龄差永远不变 今年年龄差=几年前/后年龄差 4. 配套问题 核心：两种部件数量成比例 A数量:B数量=配套比 5. 工程问题 通常设总量为 1 6. 行程・问题 相遇问题（相向） 甲路程+乙路程=总路程 追及问题（同向） 快路程-慢路程=路程差 顺逆流问题 7. 商品销售问题 8. 增长率问题 现量=原量(1+增长率) 9. 几何图形问题 周长：C长方形=2(长+宽) 面积：S长方形=长宽 找周长相等或面积相等列方程 一句话通用模板（所有题型通用） ⟹列二元一次方程组 知识点03:高频易错点 1.设未知数不写单位，最后作答漏单位 2.只列一个方程，没找到第二个等量关系 3.解出负数 / 不合理数值，忘记检验实际意义 4.计算出错（移项忘变号、系数化 1 除反） 5.题目问的是两个量，只答一个 【题型1.根据实际问题列二元一次方程组】 【典例】要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程组是解题的关键． 依据题意列出方程组即可． 【详解】解：依据题意可列方程组如下： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】一列火车以的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥一共用了，火车全部在桥上的时间是．设大桥的长度为x米，火车的长度为y米，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，从车头开上桥到车尾离开桥的路程为大桥的长度加上火车的长度，即米，火车全部在桥上的路程为大桥的长度减去火车的长度，即为米，再根据路程等于速度乘以时间列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【跟踪专练2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 【跟踪专练3】二十大报告明确提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，为响应国家号召，某公司购买了甲、乙两台新能源机器，现要加工个零件，若甲机器先加工天，然后两台机器共同加工天，则还有个没有加工；若两台机器共同加工天，则可多加工个．甲、乙两台机器每天各加工多少个零件？ 【答案】甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件． 则， 解得． 答：甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件． 【题型2.根据几何图形列二元一次方程组】 【典例】把三个能够重合的长方形如图排列在一个大长方形中，若大长方形的周长为，则一个小长方形的周长等于_________． 【答案】296 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm，利用长方形的周长公式结合大长方形的周长为888cm，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可求出（x+y）的值，再将其代入2（x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大长方形的长为（2x + y）cm，宽为（x + 2y）cm， 依题意，得：2（2x+y+x +2y）= 888， ∴x+y= 148， ∴2（x+y）= 296， 即一个小长方形的周长等于296cm； 故答案为： 296． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 【跟踪专练2】如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 【跟踪专练3】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】为了鼓励更多学生参与科艺节的“数独”游戏，数学组决定购买某款笔记本和圆珠笔作为奖品，请你根据图中所给的该款笔记本和圆珠笔的价格信息，求出该款笔记本的单价是 元．    【答案】15 【分析】首先设该款笔记本的单价为x元，中性笔的单价为y元，然后根据总价等于单价乘以数量，再结合图中给定的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求解该方程组即可得出结论． 【详解】设该款笔记本的单价为x元，中性笔的单价为y元， 根据题意列方程组得：， 解得：． 因此该款笔记本的单价为15元． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，准确得到等量关系是解题的关键．设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意得， 故选：C． 【跟踪专练2】一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，根据题意列方程组为，解方程组即可； 设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．依题意得，则，根据，n均为正整数得到或或，即共有3种租车方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，依题意，得 解得 因此，甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车． 依题意，得， 则， ，n均为正整数， 则或或 即共有3种租车方案， 方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车； 方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车． 【跟踪专练3】已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6辆B型车；最少租车费是9200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设未知数，结合用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨，进行列出方程组，即可作答． （2）结合某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载，得，再根据、n均为正整数，得或，再结合A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； （2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨； ∵租用m辆A型车，n辆B型车, 根据题意得：， ， 又、n均为正整数， 或， 该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用7辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用2辆A型车，6辆B型车． 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】一铁路大桥长1800米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全离开桥共用分钟，整列火车完全在桥上的时间为分钟，则火车的速度为 米/秒． 【答案】20 【分析】由题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设火车的速度是x米/秒，火车长为y米，根据题意得： ，解得：x=20，y=200． 故答案为： 20． 【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程． 【跟踪专练1】甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙．设甲、乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题是追及问题，等量关系是：甲的行程=乙的行程．应该注意的是：如甲用s就追上了乙，则乙也同时跑了s. 此题是追及问题，等量关系是：甲的行程=乙的行程．乙比甲先跑m，那么甲跑s就能追上乙，则；甲让乙先跑s，那么甲跑s就能追上乙，则 【详解】解：设甲，乙每秒分别跑m和m， 则可列出的方程组是． 故选：A． 【跟踪专练2】甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知行程问题的等量关系． 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据路程等于速度乘以时间可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：， 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，        依题意得： ，                          解得 ，                                   答：甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时． 【跟踪专练3】小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设平路为千米，坡路为千米，根据上山用了时，下山用了55分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得 解这个方程组，得 则（千米）． 答：从小宇家到西安植物园的路程是9千米． 【题型4.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【答案】 6 220 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 【跟踪专练1】某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【答案】B 【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论． 【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水， 依题意，得， 解得：， ∵5ax=30a+5a， ∴x=7． 答：要同时开动7台机组． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键． 【跟踪专练2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 【跟踪专练2】南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：13． 【跟踪专练1】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：，即， 解得：， 则这个两位数是． 故选：A． 【跟踪专练2】算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 【跟踪专练3】“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 【题型7.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是 岁． 【答案】13． 【分析】设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意：小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁， 由题意得： 解得： 即现在小新的年龄是13岁， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程组求解. 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 【跟踪专练2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【跟踪专练3】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得： ， 解得： ． 答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型8.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】某校组织春季研学活动，若租用55座大巴车若干辆，则有8人没有座位；若租用44座大巴车，则用车数量将增加2辆，并空出3个座位．设租用55座大巴车辆，租用44座大巴车辆，根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据题意列二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组是解答的关键． 【跟踪专练1】甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据“乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚”，可列方程，根据“甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚”，可列方程，即得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 【跟踪专练2】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 【跟踪专练3】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 【题型9.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，满足等量关系：①甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，②打折后两种玩具的单价共为684元，由此列出方程组即可． 【详解】解：设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元， 根据题意，得： 故答案为： 【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据甲和乙的数据列出方程组，求出解再判断即可. 【详解】解：设红豆棒冰的单价为x元，奶油棒冰的单价为y元． 假设甲、乙两人都正确，则 解得 当时， ． 所以甲、乙、丁三人的总价都算对了，丙的总价算错了． 故选：C. 【跟踪专练2】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个 (2)852元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）及题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得： 根据题意得， 解得； 答：该商店购进魔方120个，数独棋40个． （2）解：由题意得： （元） 答：该商店共获利852元． 【跟踪专练3】府谷是中国黄米之乡，其香味独特，营养丰富，含有人体所需的多种维生素和氨基酸．某超市以5元/千克的价格购进一批府谷黄米，由于销量良好，该超市又以4.5元/千克的价格再次购进同一种府谷黄米，这样该超市两次购进府谷黄米共600千克，超市花去2800元． (1)求该超市两次分别购买了多少千克府谷黄米？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但超市仍以相同的价格售出，若第一次购进的府谷黄米有3%的损耗，第二次购进的府谷黄米有5%的损耗，并且在销售过程中的其他成本共计392元，如果该超市希望售完这些府谷黄米共获得1400元的利润，求该超市每千克府谷黄米的售价． 【答案】(1)第一次购买了200千克府谷黄米，第二次购买了400千克府谷黄米 (2)该超市每千克府谷黄米的售价为8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了x千克府谷黄米，则第二次购买了（）千克府谷黄米，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该超市每千克售价应定为m元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购买了x千克，则第二次购买了（）千克府谷黄米． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：第一次购买了200千克府谷黄米，第二次购买了400千克府谷黄米． （2）解：设该超市每千克售价定为m元． 根据题意，得． 解得． 答：该超市每千克府谷黄米的售价为8元． 【题型10.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有 人，女生有 人． 【答案】 5 10 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设男生有x人，女生有y人，然后根据题意可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人，由题意得： ， 解得：， ∴男生有5人，女生有10人； 故答案为5；10． 【跟踪专练1】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得： ， 解得：， ∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B， 所以，甲车有2箱货物装错． 故选：D． 【跟踪专练2】阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 【跟踪专练3】桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 【题型11.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为厘米，宽为厘米，如图根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低高．”列方程组求解即可． 【详解】解：设墙砖的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得， 解得， 墙砖的面积为：（）. 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大的正方形．若大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米，则长方形的宽为 米． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据题意选取合适的量设未知数并列出方程组，是本题的解题关键． 设长方形的宽为x米，长为y米，根据大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米可列出方程组 ，求解x即可得到答案． 【详解】解：设长方形的宽为x米，长为y米，则由图可知大正方形边长为米，小正方形边长为米； 大正方形的面积为36平方米，小正方形的面积为4平方米， ∴大正方形的边长为6米，小正方形的边长为2米， ， 解得：； 长方形的宽为2米． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，学校规划在一块长18m、宽13m的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设通道的宽为，，根据长包含3个的长和2个通道宽，宽包含2个长和1个通道宽建立方程组求解． 【详解】解：设通道的宽为，， 由题意得：， 解得：， 答：通道的宽是． 【跟踪专练3】小亮在拼图时，发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成图1所示的一个大长方形．小莹又用这8个长方形拼成了图2所示的正方形，正方形中间的空白处是一个边长为2mm的小正方形． (1)求这8个大小一样的长方形的长和宽； (2)用不超过40个上述大小一样的长方形，按照图1这种拼图方式（上边的长方形竖放，下边的长方形横放）拼长方形，共有多少种拼法？写出每种拼法中竖放和横放的长方形的个数． 【答案】(1)10,6 (2) 5种，方法1：上边竖放5个长方形，下边横放3个长方形；方法2：上边竖放10个长方形，下边横放6个长方形；方法3：上边竖放15个长方形，下边横放9个长方形；方法4：上边竖放20个长方形，下边横放12个长方形；方法5：上边竖放25个长方形，下边横放15个长方形． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； 对于（1），根据图形中的数量关系列出方程组，求出解； 对于（2），依据长方形对边相等列出方程，再结合条件确定满足要求的拼法即可． 【详解】（1）解：设这8个大小一样的长方形的长为，宽为，根据题意，得 ， 解得， 所以这8个大小一样的长方形的长为，宽为； （2）解：设上边竖直放m个长方形，下边横放n个长方形，根据题意，得 ， ∴． ∵m,n都是正整数，且， ∴或或或或， ∴一共有5种拼法， 方法1：上边竖放5个长方形，下边横放3个长方形； 方法2：上边竖放10个长方形，下边横放6个长方形； 方法3：上边竖放15个长方形，下边横放9个长方形； 方法4：上边竖放20个长方形，下边横放12个长方形； 方法5：上边竖放25个长方形，下边横放15个长方形． 【题型12.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）中，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，图3是另一个广义的三阶幻方，则的值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据三阶幻方的定义，利用二元一次方程解答，即可求出结论． 【详解】解：根据题意，列二元一次方程组：， 解得：， 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，在的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（    ） A．1 B．－1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组，读懂题意，找出等量关系，并据此列出方程组是解题的关键．根据“各行各列及对角线上的三个数之和都相等”可列出相应的二元一次方程式组，解出x和y的值，进而求出m的值． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ， 各行各列及对角线上的三个数之和为：， ， 即， 解得． 故选：D 【跟踪专练2】水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 【跟踪专练3】列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 【答案】(1)15 (2)该班级购买2个小黑板，1个拖把 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据倒计时墙贴金额可得：，然后进行计算即可解答； （2）设班级购买小黑板个，拖把个，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：15； （2）设班级购买小黑板个，拖把个， 由题意得：， 解得：， 答：该班级购买2个小黑板，1个拖把． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【答案】 20 15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺， 由题意得：， 解得：， 即绳索长20尺，竿长15尺， 故答案为：20，15． 【跟踪专练1】《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故选A 【跟踪专练2】注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 【答案】(1)， (2)6.5，11；6.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可； 【详解】（1）解：设木条长x尺，绳子长y尺，由题意，得： ； 故答案为：，； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； 答：木条长6.5尺． 【跟踪专练3】我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 【题型14.二元一次方程组应用:其他实际问题】 【典例】学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．则男生志愿者有 人． 【答案】12 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意， 得   解得 ； 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人． 故答案为：． 【跟踪专练1】某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设小组数为个，该班的学生人数为人，根据总人数不变列方程求解小组数，再求总人数即可． 【详解】解：设小组数为个，该班的学生人数为人，根据题意得： ， 解得：， 答：该班的学生人数为56． 故选：B 【跟踪专练2】列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【跟踪专练3】某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买1台A型机器人和3台B型机器人共需18万元，购买3台A型机器人和1台B型机器人共需22万元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价各是多少万元？ (2)该快递公司计划购买A、B两种机器人，刚好花费26万元，该快递公司共有几种购买方案？请写出具体的购买方案． 【答案】(1)A型机器人的单价是万元，B型机器人的单价是万元； (2)该快递公司共有两种购买方案：方案一：购买A型机器人台，B型机器人台；方案二：购买A型机器人台，B型机器人台． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键． （1）设A型机器人的单价是万元，B型机器人的单价是万元，根据“购买1台A型机器人和3台B型机器人共需18万元，购买3台A型机器人和1台B型机器人共需22万元”二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型机器人台，B型机器人台，根据“该快递公司计划购买A、B两种机器人，刚好花费26万元”列二元一次方程，得到，从而得出、的可能取值，即可得解． 【详解】（1）解：设A型机器人的单价是万元，B型机器人的单价是万元， 则，解得：， 答：A型机器人的单价是万元，B型机器人的单价是万元； （2）解：设购买A型机器人台，B型机器人台， 则， 解得：， 、均为正整数， 、的可能取值为或， 即该快递公司共有两种购买方案：方案一：购买A型机器人台，B型机器人台；方案二：购买A型机器人台，B型机器人台． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13二元一次方程组的应用（举一反三讲义） 【题型01 根据实际问题列二元一次方程组】.............................3 【题型02 根据几何图形列二元一次方程组】.............................4 【题型03 二元一次方程组应用:方案问题】..............................5 【题型04 二元一次方程组应用:行程问题】..............................6 【题型05 二元一次方程组应用:工程问题】..............................6 【题型06 二元一次方程组应用:数字问题】..............................7 【题型07 二元一次方程组应用:年龄问题】..............................8 【题型08 二元一次方程组应用:分配问题】..............................9 【题型09 二元一次方程组应用:销售利润问题】..........................9 【题型10 二元一次方程组应用:和差倍分问题】.........................10 【题型11 二元一次方程组应用:几何问题】.............................11 【题型12 二元一次方程组应用:图表信息问题】.........................12 【题型13 二元一次方程组应用:古代问题】.............................14 【题型14 二元一次方程组应用:其他实际问题】.........................15 知识梳理 知识点01: 二元一次方程组解决实际问题的 一般步骤 1.审：读懂题意，找出已知量、未知量。 2.设：设两个未知数（一般用 x、y）。 3.找：从题目中找出 两个独立的等量关系。 4.列：根据等量关系列出 二元一次方程组。 5.解：用代入消元法或加减消元法解方程组。 6.验： 检验解是否满足方程组； 检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负、分数要合理）。 7.答：写出完整答案。 知识点02:应用题核心公式 1. 和差倍分问题 已知两数和、差 已知两数和、倍数关系 已知两数差、倍数关系 2. 数字问题（两位数） 两位数：十位 x，个位 y 原数：10x+y 交换后：10y+x 3. 年龄问题 核心：年龄差永远不变 今年年龄差=几年前/后年龄差 4. 配套问题 核心：两种部件数量成比例 A数量:B数量=配套比 5. 工程问题 通常设总量为 1 6. 行程・问题 甲路程+乙路程=总路程 快路程-慢路程=路程差 7. 商品销售问题 8. 增长率问题 现量=原量(1+增长率) 9. 几何图形问题 周长：C长方形=2(长+宽) 面积：S长方形=长宽 找周长相等或面积相等列方程 ⟹列二元一次方程组 知识点03:高频易错点 4.计算出错（移项忘变号、系数化 1 除反） 【题型1.根据实际问题列二元一次方程组】 【典例】要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 【跟踪专练1】一列火车以的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥一共用了，火车全部在桥上的时间是．设大桥的长度为x米，火车的长度为y米，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【跟踪专练3】二十大报告明确提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，为响应国家号召，某公司购买了甲、乙两台新能源机器，现要加工个零件，若甲机器先加工天，然后两台机器共同加工天，则还有个没有加工；若两台机器共同加工天，则可多加工个．甲、乙两台机器每天各加工多少个零件？ 【题型2.根据几何图形列二元一次方程组】 【典例】把三个能够重合的长方形如图排列在一个大长方形中，若大长方形的周长为，则一个小长方形的周长等于_________． 【跟踪专练1】如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【跟踪专练3】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】为了鼓励更多学生参与科艺节的“数独”游戏，数学组决定购买某款笔记本和圆珠笔作为奖品，请你根据图中所给的该款笔记本和圆珠笔的价格信息，求出该款笔记本的单价是 元．    【跟踪专练1】新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【跟踪专练3】已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？ 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】一铁路大桥长1800米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全离开桥共用分钟，整列火车完全在桥上的时间为分钟，则火车的速度为 米/秒． 【跟踪专练1】甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙．设甲、乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 【跟踪专练3】小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 【题型4.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【跟踪专练1】某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【跟踪专练2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【跟踪专练2】南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则 ． 【跟踪专练1】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（   ） A．根据题意，列方程组得 B．根据题意，列方程组得 C．这个两位数是26 D．这个两位数是62 【跟踪专练2】算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【跟踪专练3】“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【题型7.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是 岁． 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【跟踪专练2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【跟踪专练3】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【题型8.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】某校组织春季研学活动，若租用55座大巴车若干辆，则有8人没有座位；若租用44座大巴车，则用车数量将增加2辆，并空出3个座位．设租用55座大巴车辆，租用44座大巴车辆，根据题意可列方程组为 ． 【跟踪专练1】甲、乙两人各有纪念币若干枚，乙的纪念币数量比甲的纪念币数量多12枚；如果甲把他一半的纪念币给乙，那么乙共有纪念币48枚，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【跟踪专练3】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【题型9.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表： 甲 乙 丙 丁 红豆棒冰的数量/支 3 9 6 4 奶油棒冰的数量/支 4 11 2 7 总价/元 18 51 20 29 若其中一人把总价算错了，则此人是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练2】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【跟踪专练3】府谷是中国黄米之乡，其香味独特，营养丰富，含有人体所需的多种维生素和氨基酸．某超市以5元/千克的价格购进一批府谷黄米，由于销量良好，该超市又以4.5元/千克的价格再次购进同一种府谷黄米，这样该超市两次购进府谷黄米共600千克，超市花去2800元． (1)求该超市两次分别购买了多少千克府谷黄米？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但超市仍以相同的价格售出，若第一次购进的府谷黄米有3%的损耗，第二次购进的府谷黄米有5%的损耗，并且在销售过程中的其他成本共计392元，如果该超市希望售完这些府谷黄米共获得1400元的利润，求该超市每千克府谷黄米的售价． 【题型10.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有 人，女生有 人． 【跟踪专练1】某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错． A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【跟踪专练3】桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【题型11.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 ． 【跟踪专练1】如图，四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大的正方形．若大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米，则长方形的宽为 米． 【跟踪专练2】如图，学校规划在一块长18m、宽13m的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少？ 【跟踪专练3】小亮在拼图时，发现8个大小一样的长方形恰好可以拼成图1所示的一个大长方形．小莹又用这8个长方形拼成了图2所示的正方形，正方形中间的空白处是一个边长为2mm的小正方形． (1)求这8个大小一样的长方形的长和宽； (2)用不超过40个上述大小一样的长方形，按照图1这种拼图方式（上边的长方形竖放，下边的长方形横放）拼长方形，共有多少种拼法？写出每种拼法中竖放和横放的长方形的个数． 【题型12.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）中，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，图3是另一个广义的三阶幻方，则的值为 ．    【跟踪专练1】如图，在的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（    ） A．1 B．－1 C．2 D．0 【跟踪专练2】水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【跟踪专练3】列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【跟踪专练1】《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练2】注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 【跟踪专练3】我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【题型14.二元一次方程组应用:其他实际问题】 【典例】学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．则男生志愿者有 人． 【跟踪专练1】某班级进行课外活动时，将全班学生分成x个小组．若每小组11人，则多出1人；若每小组12人，则有一组少4人．那么该班的学生人数为（   ） A．55 B．56 C．57 D．58 【跟踪专练2】列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【跟踪专练3】某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买1台A型机器人和3台B型机器人共需18万元，购买3台A型机器人和1台B型机器人共需22万元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价各是多少万元？ (2)该快递公司计划购买A、B两种机器人，刚好花费26万元，该快递公司共有几种购买方案？请写出具体的购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $