专题11二元一次方程组的概念（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题11二元一次方程组的概念（举一反三讲义） 【题型01 二元一次方程的定义】.......................................2 【题型02 二元一次方程的解】.........................................2 【题型03 判断是否是二元一次方程组】.................................3 【题型04 判断是否是二元一次方程组的解】.............................3 【题型05 已知二元一次方程组的解求参数】.............................4 【题型06 解答题4题】...............................................4 知识梳理 知识点01:二元一次方程的概念 1.定义:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.满足的 4 个条件 是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 只含有两个未知数（通常用 x、y 表示） 含未知数的项的次数都是 1 未知数的系数不为 0 3.一般形式 ax+by=c(a0, b0) 知识点02:二元一次方程的解 1.定义:使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 2.特点 二元一次方程有无数个解 解要写成 的形式 知识点03:二元一次方程组的概念 1.定义:把两个含有相同未知数的二元一次方程（或一元一次方程）合在一起，就组成一个二元一次方程组。 2.常见形式(不能同时为0,不能同时为0) 知识点04:二元一次方程组的解 1.定义:二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 2.判断方法:将一组 分别代入方程组里的每一个方程： 都成立 → 是方程组的解 有一个不成立 → 不是解 知识点05:易错点总结 1.未知数次数是 1，不是未知数的次数和为 1 2.必须是整式方程，+y=2 不是二元一次方程 3.方程组的解必须同时满足两个方程 4.单独一个二元一次方程有无数解，方程组一般只有一组解 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【跟踪专练2】已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【跟踪专练3】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 【跟踪专练1】若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【跟踪专练2】把1根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格的短钢管，且两种规格的钢管都必须有，且没有余料．设截完后1m长的钢管有a根，则a的值有 种可能． 【跟踪专练3】商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（    ）种 A．3 B．7 C．10 D．12 【题型3.判断是否是二元一次方程组】 【典例】下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【跟踪专练1】已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【跟踪专练3】下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【题型4.判断是否是二元一次方程组的解】 【典例】判断 （填“是”或“不是”）方程组的解． 【跟踪专练1】若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【跟踪专练3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5.已知二元一次方程组的解求参数】 【典例】若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【跟踪专练1】若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【跟踪专练3】已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 3．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 4．已知是方程组的解，则的值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二元一次方程组的概念（举一反三讲义） 【题型01 二元一次方程的定义】.......................................2 【题型02 二元一次方程的解】.........................................4 【题型03 判断是否是二元一次方程组】.................................5 【题型04 判断是否是二元一次方程组的解】.............................8 【题型05 已知二元一次方程组的解求参数】............................10 【题型06 解答题4题】..............................................12 知识梳理 知识点01:二元一次方程的概念 1.定义:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.满足的 4 个条件 是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 只含有两个未知数（通常用 x、y 表示） 含未知数的项的次数都是 1 未知数的系数不为 0 3.一般形式 ax+by=c(a0, b0) 知识点02:二元一次方程的解 1.定义:使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 2.特点 二元一次方程有无数个解 解要写成 的形式 知识点03:二元一次方程组的概念 1.定义:把两个含有相同未知数的二元一次方程（或一元一次方程）合在一起，就组成一个二元一次方程组。 2.常见形式(不能同时为0,不能同时为0) 知识点04:二元一次方程组的解 1.定义:二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 2.判断方法:将一组 分别代入方程组里的每一个方程： 都成立 → 是方程组的解 有一个不成立 → 不是解 知识点05:易错点总结 1.未知数次数是 1，不是未知数的次数和为 1 2.必须是整式方程，+y=2 不是二元一次方程 3.方程组的解必须同时满足两个方程 4.单独一个二元一次方程有无数解，方程组一般只有一组解 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中方程只含一个未知数，则不是二元一次方程； B、中方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，则不是二元一次方程； C、中方程含有分式，不是整式方程，则不是二元一次方程； D、中方程含有两个未知数且次数均为1，是整式方程，则是二元一次方程； 故选：D． 【跟踪专练1】已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程中未知数的次数均为是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，确定、的次数均为，从而列出关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：由于方程是关于的二元一次方程， 因此的指数，解得； 的指数，解得． 所以， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 【跟踪专练3】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可，熟练掌握二元一次方程的定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入二元一次方程． 将方程的解代入二元一次方程，建立关于的方程并求解． 【详解】解：将代入方程得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ∴将代入得，． 故选：D． 【跟踪专练2】把1根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格的短钢管，且两种规格的钢管都必须有，且没有余料．设截完后1m长的钢管有a根，则a的值有 种可能． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解，掌握根据实际问题确定未知数的正整数取值范围是解题的关键． 根据题意，设2m长的钢管有b根，列出方程，其中a和b均为正整数，求解a的可能值． 【详解】解：由，可得，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故a的值有4种可能． 故答案为4． 【跟踪专练3】商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（    ）种 A．3 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】需要分类讨论：若购买A、B两种商品分别为x、y件；若购买A、C两种商品分别为a、b件；若购买B、C两种商品分别为m、n件；列出方程求其正整数解即可. 【详解】解：①若购买A、B两种商品分别为x、y件， 根据题意得：， ∵x、y都是正整数， ∴； ②若购买A、C两种商品分别为a、b件， 根据题意得：， ∵a、b都是正整数， ∴或； ③若购买B、C两种商品分别为m、n件， 根据题意得：， ∵m、n都是正整数， ∴或或或； 综上，小明的购买方案有7种； 故选：B. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的难点在于挖掘题目中的数量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其正整数解. 【题型3.判断是否是二元一次方程组】 【典例】下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 【跟踪专练1】已知方程组是二元一次方程组，则（ ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【跟踪专练3】下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：A选项不是二元一次方程组，因为含有三个未知数； C选项中的次数是2，所以不是二元一次方程组； D选项中不是二元一次方程，因为分母中含有未知数； 只有B选项符合二元一次方程组的条件． 故选：B． 【题型4.判断是否是二元一次方程组的解】 【典例】判断 （填“是”或“不是”）方程组的解． 【答案】不是 【分析】将代入到方程组中去检验即可． 【详解】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是这个方程组的解． 故答案为：不是． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的步骤是关键． 【跟踪专练1】若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出一个二元一次方程组，其中第二个方程为多项式，要求找出可能的，由于题目未明确给出解的具体值，需结合选项及方程进行推断．本题考查了二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为，其解需同时满足两个方程， ∴假设解为，（满足），代入各选项验证： A、，不成立，故该选项不符合题意； B、，不成立，故该选项不符合题意； C、，成立，故该选项符合题意； D、，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C 【跟踪专练2】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 【跟踪专练3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 【题型5.已知二元一次方程组的解求参数】 【典例】若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义． 把二元一次方程的解代入方程，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 【跟踪专练3】已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义和换元法，运用整体的思想是解题的关键． 通过换元法，将新方程组转化为原方程组的形式，利用已知解求解新变量即可． 【详解】解：新方程组为：， 令，，则新方程组变为：， 因为方程组的解为， 所以，即：，解得， 故新方程组的解为， 故选：A． 解答题 1．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 2．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 3．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 4．已知是方程组的解，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 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